Вопросы к коллоквиуму №1 по линейной алгебре

1. Определители . Определителем 2-го порядка называется число и обоз-начается символом

(5)

где вертикальные черточки – знак определителя.

Числа называются элементами определителя.

Элементы образуют главную диагональ определителя, а - побочную. Кроме того, в определителе различают

два столбца и две строки – ряды.

Таким образом, определитель 2-го порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.

Определителем 3-го порядка называется число, и обозначается символом

Значение определителя вычисляется по формуле:

(8)

Для запоминания формулы (8) удобно пользоваться правилом треуголь-ников (правило Саррюса): первые три слагаемых представляют собой произ-ведение элементов, стоящих на главной диагонали и вершинах двух треуго-льников, у которых одна из сторон параллельна главной диагонали, а осталь-ные три слагаемых, взятые с обратным знаком, вычисляются аналогично, только за основу берётся побочная диагональ.

Правило треугольников символически иллюстрируется следующей схе-мой (рис. 3.1) :

2. Свойства определителей. Свойство 1. Значение определителя не меняется, если у него заменить все его строки соответствующими столбцами и обратно:

.

Свойство 2. Если поменять местами два столбца (строки), то определи-тель изменит знак:

.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю :

Свойство 4. Общий множитель элементов строки (столбца) можно вы-носить за знак определителя :

.

Свойство 5. Определитель, у которого элементы двух столбцов (строк) пропорциональны, равен нулю.

3. Методы вычисления определителей п-го порядка Кроме определителей 2-го и 3-го порядка рассматриваются также опре-делители более высоких порядков. Например, определитель 4-го порядка имеет вид

и, вообще, определитель n –го порядка

Определитель любого порядка есть число, получаемое с помощью свойств 8 и 6.

4. Матрицы. Виды матриц. В общем случае матрицей называется прямоугольная таблица, состав-ленная из чисел или каких-либо других объектов. В дальнейшем будем рассматривать матрицы, составленные из вещественных чисел.

Матрицы обозначают одной буквой, например,

где круглые скобки, или двойные черточки – знак матрицы,

а числа а₁₁ , а₁₂ ,… - элементы матрицы.

Каждая матрица имеет определенные размеры (m×n) , т.е. количество строк m и количество столбцов n .

В общем, матрица имеет вид

, т.е. номер строки i меняется от 1 до m , номер столбца j – от 1 до n .

5. Действия над матрицами. 1. Сложение матриц. Заметим, что складывать можно только матрицы одинаковых размеров.

Определение 3. Суммой двух матриц и называется матрица элементы которой определяются равенством .

Обозначается : С=А+В .

Пример 1. .

Сложение матриц подчиняется переместительному закону, т.е. А+В=В+А, и сочетательному закону, т.е. (А+В)+С=А+(В+С).

2. Умножение матриц на число.

Определение 4. Произведением матрицы А на число λ называется ма-трица

Матрица записывается как -А и называется матрицей, противоположной матрице А.

3. Умножение матриц. Отметим, что перемножать можно только соответственные матрицы .

Определение 5. Произведением имеющей m строк и k столбцов, на матрицу , имеющей k строк и n столбцов, называется матрица , имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент C_ij равен сумме произведений элементов i – той строки матрицы А и j -го столбца матрицы В, т.е.

.

Обозначается .

Пример 2.

Можно показать, что умножение матриц подчиняется сочетательному зако-ну и распределительному закону но не подчиняется переместительному закону, т.е. АВ ≠ ВА.

Замечание. Единичная матрица Е перестановочна с любой матрицей А того же порядка, что и матрица Е, т.е. АЕ = ЕА = А, т.е. только в этом случае умножение матриц подчиняется пере-местительному закону.

Убедимся в этом на примере матриц второго порядка