2.3. Умножение вектора на число (скаляр).
Определение 5.
Произведением
вектора
на число λ называется век-тор
,
модуль которого равен произведению
модуля вектора
на модуль числа λ , а направление
совпадает с направлением вектора
,
если
и противоположно направлению вектора
,
если
.
При
,
или
=
0 считают вектор
нулевым. Из приведенных вы-ше определений
вытекают следующие свойства
линейных операций:
1).
(переместительность сложения
векторов – комму- тативность).
2).
(сочетательность сложения векторов –
ассоциати-вность).
3).
(существование противоположного
вектора).
4).
(существование нулевого
вектора).
5).
6).
(ассоциативность умножения на
число).
7).
(распределительность или
дистрибутивность ум-ножения векторов
на числа относительно сложе-ния векторов).
8).
(дистрибутивность умножения векторов
на числа относительно сложения чисел).
Замечание 1. Векторную сумму можно преобразовать по тем же правилам, что и алгебраическую, а именно :
а) общий множитель выносить за скобки
б) раскрывать скобки и приводить подобные
в) переносить члены из одной части равенства в другую с про-тивоположным знаком.
Замечание 2. Линейные операции над векторами установлены в соответст-вии с физическими законами, приводящими к подобным опе-рациям над векторными величинами .
18. Прямоугольная
декартова система координат в пространстве.
Определение 3. Декартовой
системой координат в пространстве
назы-вается совокупность точки 0 и базиса
.
При этом различают аффинную и прямоугольную систему декартовых координат (Рене Декарт (1596-1650) – французский математик и философ).
В случае аффинной системы декартовых координат базисные векторы имеют произвольные направления, оставаясь некомпланарными.
При изучении последующих вопросов при решении задач векторной алгебры и аналитической геометрии будем пользоваться декартовой системой координат , когда базисные векторы попарно перпендикулярны и имеют длину, равную единице.
Базис, состоящий
из взаимно перпендикулярных единичных
векторов, называется ортонормированным
базисом. Векторы ортонормированного
ба-зиса в пространстве называются
ортами
и обозначаются
, а на плос-кости – через
.
Это, так
называемый, декартов базис
.
Декартова
система координат с ортонормированным
базисом называется прямоугольной
системой координат, которая может быть
правой или левой (в дальнейшем будем
использовать правую систему координат)
(рис.2.4). Обоз-начается обычно : 0xyz
Z
z
M(x,y,z)
M1
α β y Y
0
x
X
Рис.2.4. Правая прямоугольная система координат в пространстве
Точка 0 – начало координат. Ось 0Х – ось абсцисс, ось 0У – ось ординат, а ось 0Z – ось аппликат (различают их положительные и отрицательные по-луоси). Плоскости х0У, х0Z и У0Z называются координатными плоскостями.