23. Линейная зависимость и независимость векторов. 3. Линейная зависимость и независимость векторов.

Пусть даны векторы . Тогда вектор, представленный в виде , где - некоторые числа, называ-ется линейной комбинацией векторов . Говорят также, что век-тор линейно выражается через векторы .

Определение 6. Система векторов называется линейно за-висимой , если можно найти такие постоянные числа одновременно не равные нулю , чтобы вы-полнялось равенство. (1) В противном случае указанная система векторов будет линейно независимой .

В случае же линейной зависимости хотя бы один из векторов этой систе-мы является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть, например, в выражении (1) , тогда

(2) В таком случае говорят, что вектор разложен по направлению других (не обязательно всех) векторов этой системы. Поэтому часто удобно пользо-ваться другим определением линейной зависимости векторов, которое эквивалентно предыдущему.

Определение 7. Векторы называются линейно зависимы-ми , если какой-либо из них линейно выражается, т.е. с помощью операций сложения и умножения на число, через остальные.

24. Критерии линейной зависимости векторов. 4. Критерии линейной зависимости векторов.

Установим критерии (условия), при которых векторы являются линейно зависимыми.

Теорема 1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны .

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема 3. Четыре вектора всегда линейно зависимы, т.е. .

Замечание 3. Если дано более четырех векторов, то они всегда линейно за-висимы.

Замечение 4. Если даны два неколлинеарных вектора или три некомпланар-ных вектора, то они линейно независимы.

25. Векторное линейное пространство. 1. Векторное линейное пространство.

Множество, состоящее из элементов какой угодно природы, в которых определены линейные операции : сложение двух элементов и умножение элемента на число называются пространствами, а их элементы – векторами этого пространства и обозначаются так же, как и векторные величины в гео-метрии : . Векторы таких абстрактных пространств, как правило, ничего общего не имеют с обычными геометрическими векторами. Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т.д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому такие пространства принято называть векторными пространствами .

Векторными пространствами являются, например , множество колли-неарных векторов, обозначаемое V₁ , множество компланарных векторов V₂, множество векторов обычного (реального пространства) V₃ .

Для этого частного случая можно дать следующее определение век-торного пространства.

Определение 1. Множество векторов называется векторным прост-ранством , если линейная комбинация любых векто-ров множества также является вектором этого мно-жества. Сами векторы называются элементами век-торного пространства.

Более важным как в теоретическом, так и в прикладном отношении яв-ляется общее (абстрактное) понятие векторного пространства.

Определение 2. Множество R элементов , в котором для лю-бых двух элементов и определена сум-ма и для любого элемента и любого действительного числа λ определено произведение называется векторным (или линейным) про-странством , а его элементы – векторами, если опера-ции сложения векторов и умножение вектора на число удовлетворяют следующим условиям (аксиомам) :

1) сложение коммутативно, т.е. ;

2) сложение ассоциативно, т.е. ;

3) существует такой элемент (нулевой вектор), что для любого ;

4) для каждого вектора существует противопо-ложный вектор -, такой что ;

5) для любых векторов и и любого чис-ла λ имеет место равенство ;

6) для любых векторов и любых чисел λ и µ справедливо равенство ;

7) для любого и любых чисел λ и µ справедли-во ;

8) для любого .

Из аксиом, определяющих векторное пространство, вытекают прос-тейшие следствия :

1. В векторном пространстве существует только один нуль – элемент – нулевой вектор.

2. В векторном пространстве каждый вектор имеет единственный проти-воположный вектор.

3. Для каждого элемента выполняется равенство .

4. Для любого действительного числа λ и нулевого вектора выпол-няется равенство .

5. Из равенства следует одно из двух равенств:

6. Вектор является противоположным для любого вектора .

Существование противоположного вектора определяет возможность вве-дения для вектора рассматриваемого пространства операцию вычитания как операцию, обратную операции сложения.

Разностью векторов называется вектор , удовлетворяющий равенству .

Разность векторов обозначается так : .

Итак, действительно, и множество всех геометрических векторов являет-ся линейным (векторным) пространством, так как для элементов этого мно-жества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворя-ющие сформулированным аксиомам.

26. Базис и размерность пространства. Существенными понятиями векторного пространства являются понятия базиса и размерность.

Определение. Совокупность линейно независимых векторов, взятых в определенном порядке, через которые линейно выражается любой вектор пространства, называется базисом этого пространства. Векторы. Составляющие базис пространства, называется базисным .

Базисом множества векторов, расположенных на произвольной прямой, можно считать один коллинеарный этой прямой вектор .

Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора на этой пло-скости, взятые в определенном порядке .

Базисом в обычном пространстве – три некомпланарных вектора, взя-тые в определенном порядке .

Если базисные векторы попарно перпендикулярны (ортогональны), то базис называется ортогональным , а если эти векторы имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным .

Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называ-ется размерностью этого пространства, т.е. размерность пространства сов-падает с числом базисных векторов этого пространства.

Итак, в соответствии с данными определениями :

1. Одномерным пространством V₁ является прямая линия, а базис состо-ит из одного коллинеарного вектора .

2. Двумерным пространством V₂ является плоскость, базис этого прост-ранства состоит из двух неколлинеарных векторов .

3. Обычное пространство является трехмерным пространством V₃ , базис которого состоит из трех некомпланарных векторов .

Отсюда мы видим, что число базисных векторов на прямой, на плос-кости, в реальном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято на-зывать числом измерений (размерностью) прямой, плоскости, пространства. Поэтому естественно ввести более общее определение.

Определение. Векторное пространство R называется n – мерным, если в нем существует не более n линейно неза-висимых векторов и обозначается R ⁿ . Число n на-зывается размерностью пространства .

В соответствии с размерностью пространства делятся на конечномерные и бесконечномерные . Размерность нулевого пространства по определению считается равной нулю.

Замечание 1. В каждом пространстве можно указать сколько угодно базисов, но при этом все базисы данного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Замечание 2. В n – мерном векторном пространстве базисом назы-вают любую упорядоченную совокупность n линейно независимых векторов.