6. Элементарные преобразования матриц.

7. Обратная матрица.

Обратная матрица. Рассмотрим так называемую обратную матрицу, понятие которой вводится только для квадратной матрицы.

Определение 6. Матрица А^-1 называется обратной для квадратной мат-рицы А , если АА^-1 = А^-1А = Е.

Не любая матрица может иметь обратную.

Справедлива следующая теорема: Для существования обратной матрицы А^-1 необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был не равен нулю () , т.е. чтобы матрица А была невырожденной . При составлении обратной матрицы осуществляется, так называемое, транспонирование матрицы.

Определение 7. Матрица А^Т называется транспонированной по от-ношению к матрице А , если столбцы матрицы А явля-ются строками матрицы А^Т . Таким образом, транспо-нирование – это переход от матрицы А к А^Т, заклю-чающийся в замене соответствующих столбцов мат-рицы А строками .

Пример 3. Пусть

. Транспонированной матрицей А^Т будет .

Алгоритмы составления обратной матрицы.

1. Вычислить определитель матрицы А , т.е. (если ∆ ≠ 0, то мат-рица А имеет обратную).

2. Вычислить алгебраические дополнения всех элементов определителя матрицы А, т.е. А_ij .

3. Составить матрицу В путем замены в матрице А каждого элемента его алгебраическим дополнением, т.е. а_ij заменить на А_ij .

4. Составить транспонированную матрицу В^Т по отношению к матрице В , поменяв местами в матрице В её строки и столбцы.

5. Разделив все элементы матрицы В^Т на определитель ∆ , составить обратную матрицу А^-1, т.е.

.

6. Проверка. Найти произведение АА^-1 , которое должно быть равно матрице Е .

8. Базисный минор. Ранг матрицы. Важной характеристикой матрицы является её ранг.

Определение. Рангом матрицы называется порядок самого старшего минора этой матрицы не равного нулю.

Из определения следует, что рангом обладает всякая матрица. Ранг матрицы А будем обозначать r(A) . Если равны нулю все миноры порядка t данной матрицы А, то r(A) < t .

Количество миноров различного порядка той или иной матрицы обычно очень велико. Поэтому вычисление r(A) основанное на вычислении миноров, очень затруднительно. Существуют особые приемы, значительно облег-чающие определение r(A). Один из них основан на следующей теореме.

Теорема. Ранг матрицы не меняется если :

1) все строки заменить столбцами, т.е. матрицу протранспо-нировать;

2) поменять местами две строки (два столбца);

3) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же множитель, отличный от нуля;

4) сложить одну строку (столбец) с другой строкой (столб-цом), увеличенной в λ раз.

Пример. Определить ранг матрицы.

Решение.

1) Сократим общий множитель в четвертой строке (: 5)

2) Вычтем четвертую строку из 1-ой, 2-ой, 3-ей.

3) Умножим 2-ую строку на 4 и 7 и сложим соответственно с 1-й, 3-й и 4-й строкой

4) Умножим 4-й столбец на -2, -5, -3 и сложим соответственно с 1-м, 2-м и 5-м столбцами

5) Меняя местами строки, матрицу запишем в виде:

Отсюда видно, что ранг последней матрицы равен четырем, т.к. минор четвертого порядка

.

Следовательно, и r(A) = 4 .

9. Системы линейных уравнений. В общем случае система линейных уравнений может включать в себя m уравнений и n неизвестных.

Система линейных уравнений, в которой все свободные члены равны нулю, называется однородной , а в которой хоть один свободный член отличен от нуля – неоднородной .

Система уравнений, которая имеет единственное решение, называется определенной , а которая имеет бесчисленное множество решений – неопре-деленной .

Система уравнений, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной , а которая совсем не имеет решений – несовместимой .

Представим эти типы систем в виде таблицы 3.2. с указанием критериев, на основании которых проводятся исследования систем линейных уравне-ний: определителей и ранга матриц.

10.Теорема Кронекера-Капелли. Теорема 1. (теорема Кронекера- Капелли) (1823-1891 немецкий мате-матик 1855-1910 итальянский математик).

Для того чтобы система линейных уравнений была сов-местна , необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы А равнялся рангу расширенной матрицы В, т.е. r(A)= r(В). При этом возможны два частных случая:

1) Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение: r(A)= r(В)= n ;

2) Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В, но мень-ше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество различных решений: r(A)= r(В)< n.

Замечание. Если то система имеет единственное решение: r(A)≠ r(В) , то система линейных уравнений несовместна и не имеет решений.

Пример 1. Исследовать и решить систему уравнений

Решение. 1. Составим матрицу А и найдем r(A) :

1)

I II III [2] [+] [-]

2) Миноры третьего порядка ∆ ₁ = ∆ ₂ = ∆ ₃ =∆ ₄ = 0 . Следовательно, r(A)<3 .

3) Умножим 1-ю строку на 2, сложим со 2-ой и эту сумму вычтем из 3-ей, получим

Легко убедиться, что миноры 2-го порядка не равны нулю.

Отсюда , а значит и r(A) = 2 .

2. Составим матрицу В и найдем r(В) :

11.Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Рассмотрим систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными х,у,z

(9)

Коэффициенты а₁₁ , а₁₂ , … , а₃₃ , и свободные члены в₁ , в_{2 ,} в₃ считают-ся заданными в виде чисел.

Тройка чисел х₀ , у₀ , z₀ называется решением системы (9), если в ре-зультате подстановки этих чисел вместо х . у, z все три уравнения (9) обра-щаются в тождества.

Здесь основную роль играют четыре определителя

Определитель ∆ - называется определителем системы (9). Определите-ли ∆_{х ,} ∆ _у , ∆ _z получаются из определителя системы ∆ заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Можно доказать, что из системы (9) может быть получена система урав-нений :

(10)

Формула (10) называется формулой Крамера (1704-1752 швейцарский математик).

Возможны следующие три случая :

1) ∆ ≠ 0 . Решение системы (9) существует и при том единственное, и оно вы-ражается формулами Крамера (10).

2) ∆ = 0 . Пусть хотя бы один из определителей ∆_{х ,} ∆ _у , ∆ _z отличен от нуля. Тогда хотя бы одно из уравнений (10) невозможно, т.е. система (10) не имеет решений , и поэтому не имеет решений и система (9), т.к. система (10) следствие системы (9).

3) ∆ = 0 , ∆_х = ∆ _у = ∆ _z = 0 . Система (9) либо совсем не имеет решений, либо их бесчисленное множество .

Пример 2. Найти решения системы

.

Решение. 1) Так как ∆ = 1 , то данная система имеет единственное решение определяемое формулами Крамера.

2) .

3) .

Следовательно, х = 1 , у = 1 , z = 0 - решение данной системы