- •1. Элементы теории множеств.
- •1.1. Множества, подмножества, элементы множества.
- •1.2. Операции над множествами.
- •Свойства операции объединения.
- •Свойства операции пересечения множеств.
- •1.3.1. Счётные множества.
- •1.3.2. Множества мощности континуум.
- •1.3.3. Множества высших мощностей.
- •2. Элементы математической логики.
- •2.1. Высказывания и действия над ними.
- •Свойства логических операций.
- •2. Элементы математической логики.
- •2.2. Кванторы.
- •2.3. Математические теоремы, их виды и логическая структура.
- •2.3.1. Теоремы прямая, противоположная, обратная.
- •2.3.2. Достаточность и необходимость, существование и единственность.
- •2.3.3. Доказательство от противного; метод математической индукции .
- •2.3.4. Бином Ньютона.
- •3. Действительные числа.
- •3.1. Аксиомы действительных чисел.
- •3.2. Некоторые множества на числовой оси.
- •3.3. Несобственные точки числовой прямой.
- •3.4. Границы числовых множест.
- •5.4. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.
- •5.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
2.3.4. Бином Ньютона.
Набор элементов {ak1, ak2, ak3, ..., akm}, (всего m элементов), выбранных без повторения из множества {a1, a2, a3, …, an}, содержащего n элементов, где m ≤ n, называется выборкой объема m из n элементов. Пусть, например, даны выборки {a1, a4}, {a2, a3, a4}, {a3, a2, a4}; все приведенные выборки разные: первые две отличаются количеством элементов, последние две выборки отличаются порядком элементов. Выборки {ak1, ak2, ak3, ..., akm}, в которых учитывается не только набор элементов, но и их порядок, называются размещениями. Число различных возможных размещений из n элементов множества по m (m - объем выборки) обозначается символом Anm. Имеет место формула
Доказательство: если все множество содержит n элементов, то имеется ровно n вариантов выбора одного элемента; при любом выборе первого элемента вариантов выбора второго элемента будет n - 1; следовательно, вариантов выбора двух элементов будет n(n - 1); вариантов выбора третьего элемента из оставшихся n - 2 элементов будет тоже n - 2; следовательно, три элемента можно выбрать n(n - 1)(n - 2) способами; таким образом, для любого числа m, m ≤ n, получаем
где n! = 1·2·3…·n; при этом по определению полагается 1! = 1, 0! = 1. Выборки, для которых m = n, называются перестановками. Например, {a1, a2, a3}, {a2, a3, a1}, {a3, a1, a2} и т.д. Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn, так как Pn = Pnn = n(n - 1)(n - 2) ... (n - n + 1), то Pn = n! Если учитывается только набор элементов в выборке (независимо от их порядка), то такие выборки называются сочетаниями. Пусть, например, имеются выборки {a1, a2, a3}, {a2, a3, a1}, {a3, a6, a2}; первые две из них получаются друг из друга перестановкой элементов, поэтому как сочетания они не различаются (но различаются как перестановки); две последние выборки содержат разные наборы элементов, поэтому как сочетания они разные. Число сочетаний из n элементов по m обозначим Cnm. Если набор содержит n элементов, то из этих элементов можно сделать Anm размещений, при этом каждому размещению соответствует еще Pn - 1 размещение, отличающееся от него только порядком элементов, т.е. тождественные с ним как сочетания. Поэтому Anm = Cnm · Pm, то есть . Частные случаи: если m = 0, то ; если m = 1, то ; если если m = 2, то ; … если m = n - 1, то ; если m = n, то .
Биномом Ньютона называют разложение выражения (a ± b)n по степеням a и b (n - натуральное число).
Количество слагаемых в многочлене (a ± b)n до приведения подобных членов при увеличении показателя степени на единицу увеличивается в два раза (поэтому общее количество слагаемых до приведения подобных членов будет равно 2n + 1). Когда приводятся подобные члены в многочлене (a ± b)n, то определяются по сути количества одинаковых слагаемых, то есть числа сочетаний из n элементов по m (ясно, что ). До сложения показателей слагаемые в разложении бинома (a ± b)n имеют вид: a·a·a· … a·(±b)·(±b)·(±b)· … (±b); каждое слагаемое содержит n множителей. Количество слагаемых, которые содержат множитель (±b) m раз совпадает с количеством сочетаний по m из n элементов; такие слагаемые будут иметь вид (±b)m·an - m; общее число таких слагаемых равно Cnm, что приводит к так называемой формуле бинома Ньютона: Для наглядного представления значений биномиальных коэффициентов Cnm применяют таблицу, называемую треугольником Паскаля: Каждый внутренний элемент этой таблицы получается как сумма элементов, стоящих левее и правее строкой выше. Рассмотрим некоторые свойства биномиальных коэффициентов, которые хорошо просматриваются в треугольнике Паскаля: а). Свойство, используемое при построении треугольника Паскаля: Cn+1k+1 = Cnk + Cnk+1. б). Число элементов в строке (в разложении бинома степени n) на единицу больше показателя степени бинома. в). Сумма биномиальных коэффициентов в любой строке равна 2n, то есть . г). Cnm = Сnn-m, так как . Это свойство означает, что таблица Паскаля симметрична относительно своей центральной линии, или, другими словами, равноотстоящие от краев элементы строки одинаковы: нулевой элемент равен последнему (Cn0 = Cnn = 1, m = 0); первый элемент равен предпоследнему (Cn1 = Cnn - 1 = n, m = 1); и т.д. д). Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетныx местах. е).Каждый элемент строки равен предшествующему, умноженному на коэффициент, равный , то есть . В самом деле, .