- •1. Элементы теории множеств.
- •1.1. Множества, подмножества, элементы множества.
- •1.2. Операции над множествами.
- •Свойства операции объединения.
- •Свойства операции пересечения множеств.
- •1.3.1. Счётные множества.
- •1.3.2. Множества мощности континуум.
- •1.3.3. Множества высших мощностей.
- •2. Элементы математической логики.
- •2.1. Высказывания и действия над ними.
- •Свойства логических операций.
- •2. Элементы математической логики.
- •2.2. Кванторы.
- •2.3. Математические теоремы, их виды и логическая структура.
- •2.3.1. Теоремы прямая, противоположная, обратная.
- •2.3.2. Достаточность и необходимость, существование и единственность.
- •2.3.3. Доказательство от противного; метод математической индукции .
- •2.3.4. Бином Ньютона.
- •3. Действительные числа.
- •3.1. Аксиомы действительных чисел.
- •3.2. Некоторые множества на числовой оси.
- •3.3. Несобственные точки числовой прямой.
- •3.4. Границы числовых множест.
- •5.4. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.
- •5.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
3.4. Границы числовых множест.
Пусть Х = {x| x ∈ R} - некоторое подмножество множества действительных чисел. Определения. 3.4.1. Если существует число М ∈ R такое, что для ∀х ∋ Х выполняется неравенство х < М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М). Число М называется верхней границей множества Х. 3.4.2. Если существует число m ∈ R такое, что для ∀х ∋ Х выполняется неравенство х > М, то множество Х называется ограниченным снизу (числом m). Число m называется нижней границей множества Х. 3.4.3.Если существует число М ∈ R такое, что для ∀х ∋ Х выполняется неравенство |х| < М, то множество Х называется ограниченным. Теорема 3.4.1. Множество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено сверху и снизу. Если множество Х ограничено сверху, то множество его верхних границ бесконечно (если число М - верхняя граница, то верхними границами будут числа М + 1, М + 2 и т.д.). Обозначим У множество верхних границ множества Х. Множество У ограничено снизу (любым элементом множества Х). Возможны два случая: либо множество Х имеет максимальный элемент (например, если Х - отрезок [0, 1], то максимальный элемент равен 1), в этом случае множество верхних границ не имеет минимального элемента; либо множество Х не имеет максимального элемента (например, если Х = (0, 1)), в этом случае множество верхних границ имеет минимальный элемент. Определение 3.4.4. Точной верхней границей, или верхней гранью, множества Х, ограниченного сверху, называется максимальный элемент этого множества, если он существует, и минимальный элемент множества верхних границ, если множество Х не имеет максимального элемента. Для обозначения применяются: символы sup X или sup{x}. Свойства верхней грани: Пусть М*= sup X - верхняя грань множества Х. Тогда 3.4.2. Для ∀х ∈ Х выполняется неравенство х ≤ М*. 3.4.3. Любое число, меньшее М*, не будет верхней границей множества Х, т.е. для ∀ε > 0 ∃x ∈ X такой, что х > М*-ε. Аналогичным образом, если множество Х ограничено снизу, то множество его нижних границ бесконечно. Обозначим Z множество нижних границ множества Х. Множество Z ограничено сверху (любым элементом множества Х). Определение 3.4.5. Точной нижней границей, или нижней гранью, множества Х, ограниченного снизу, называется минимальный элемент этого множества, если он существует, и максимальный элемент множества нижних границ, если множество Х не имеет минимального элемента. Для обозначения применяются: символы inf X или inf{x}. Свойства нижней грани: Пусть М*= inf X - нижняя грань множества Х. Тогда 3.4.2. Для ∀х ∈ Х выполняется неравенство х ≥ М*. 3.4.3. Любое число, большее М*, не будет нижней границей множества Х, т.е. для ∀ε > 0 ∃x ∈ X такой, что х < М* + ε.
4. Предел функции одной переменной.
4.1. Определение функции. Терминология.
4.2. Гиперболические функции.
4.2.1. Определение гиперболических функций. 4.2.2. Соотношения между гиперболическими функциями. 4.2.3. Обратные гиперболические функции
4.2.1. Определение гиперболических функций.
4.3. Последовательность и её предел.
4.3.1. Определение последовательности и её предела. 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности. 4.3.3. Число e.
5. Непрерывность функций.
5.1. Определение непрерывность функции в точке.
-
5.1.1. Основное определение непрерывности функции в точке.
-
5.1.2. Определение в терминах .
-
5.1.3. Определение в терминах приращений.
-
5.1.4. Определение в терминах последовательностей.
-
5.1.5. Определение разрывной функции.
-
5.1.6. Определение функции, непрерывной на множестве.
5.2. Определение непрерывность функции в точке.
-
5.2.1. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций.
-
5.2.2. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.
-
5.2.3. Теорема о непрерывности суперпозиции непрерывных функций.
.3. Непрерывность элементарных функций.
-
5.3.1. Непрерывность рациональной и дробно-рациональной функций.
-
5.3.2. Непрерывность показательной и логарифмической функций.
-
5.3.3. Непрерывность тригонометрических функций.
-
5.3.4. Непрерывность гиперболических функций.
-
5.3.5. Непрерывность показательно-степенной функции..