Матан. 3 семестр. РК2

Оглавление

Оглавление..............................................................................................................................................................

1

1.

Для функции двух аргументов дать определение равномерной сходимости (по одному из

аргументов). Сформулировать и доказать критерий Коши равномерной сходимости (по одному из

аргументов). ...........................................................................................................................................................

3

2.

Для функции двух аргументов сформулировать и доказать теорему о перестановке предельных

переходов. ...............................................................................................................................................................

4

3.

Сформулировать и доказать теорему о переходе к пределу под знаком собственного интеграла с

параметром.............................................................................................................................................................

5

4.

Сформулировать и доказать тео р ем у о непрерывности собственного интеграла с параметром......

6

5.

Для функции двух аргументов сформулировать теорему о дифференцируемости по одному из

аргументов. Сформулировать и доказать теорему о дифференцируемости собственного интеграла с

параметром. ...........................................................................................................................................................

7

6.

Для ф у н к ц и и д в у х аргументов сфо р м ул ир о вать теорему об интегрируемости по одному из

аргументов. Сформулировать и доказать т е о р е м у об интегрируемости собственного интеграла с

параметром.............................................................................................................................................................

9

7.

Сформулировать определение равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром.

Сформулировать и доказать критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с

параметром...........................................................................................................................................................

11

8. Сформулировать и доказать п р и з н а к Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного

интеграла с параметром. ....................................................................................................................................

12

9.

Сформулировать и доказать признак Д и н и р а в н о м е р но й с х о д и м о с т и несобственного

интеграла с параметром. ....................................................................................................................................

13

10.

Сформулировать и доказать признак А б е л я равномерной с х о д и м о с т и несобственного

интеграла с параметром. ....................................................................................................................................

14

11.

Сформулировать и доказать п р и з н а к Дирихле равномерной сходимости несобственного

интеграла с параметром. ....................................................................................................................................

15

12.

Сформулировать и доказать т е о р е м у о переходе к пределу под знаком несобственного

интеграла с параметром. ....................................................................................................................................

16

параметром...........................................................................................................................................................

18

15.

Сформулировать и доказать теорему о собственном интегрировании

несобственного

интеграла с параметром. ....................................................................................................................................

19

16.

Сформулировать и доказать теорему о несобственном интегрировании несобственного интеграла с

параметром...........................................................................................................................................................

20

17.

Дать определение гамма- и бэта-функций Эйлера. Описать их свойства и связь. Вывести формулы

для

вычисления Γ(n + 1), Г(1/2)......................................................................................................................

21

18.

Сформулировать и доказать м и н им а л ь но е свойство частичных сумм ряда Фурье по

ортогональной системе (решение задачи о наилучшей аппроксимации). Сформулировать и доказать

т е о р е м у о неравенстве Бесселя. ....................................................................................................................

24

19.

Сформулировать и доказать т е о р ем у о равенстве Парсеваля. Сформулировать и доказать

теорему о сходимости по норме ряда по ортонормированной системе........................................................

25

20.

Дать о п р е д е л е н и я о р т о г о н а л ь н о й и ортонормированной с и с т е м векторов е в к л и д о в а

п р о с т р а н с т в а . Определить п о н я т и я п о л н о т ы и замкнутости о р т о г ональных систем

векторов. Дать определение полного евклидова пространства. Определить скалярное произведение в

пространстве интегрируемых на отрезке функций. Доказать, что интегрируемые на отрезке функции

образуют неполное евклидово пространство. Дать определение гильбертова пространства.

Доказать,

что в гильбертовом пространстве любая полная ортогональная система замкнута..................................

26

21. Сформулировать теорему Вейерштрасса об аппроксимации многочленами. Показать, что

многочлены Лежандра образуют ортогональную систему в пространстве интегрируемых на отрезке

функций. ...............................................................................................................................................................

27

22. Сформулировать теорему Вейерштрасса об аппроксимации тригонометрическими

многочленами. Показать, что тригонометрический ряд Фурье есть есть ряд по ортогональной

системе в пространстве интегрируемых на отрезке функций. ....................................................................

28

23. Сформулировать и доказать теорему о равномерной сходимости тригонометрического ряда.

Вывести формулы для коэффициентов ряда Фурье по косинусам (синусам) на произвольном отрезке.

................................................................................................................................................................................

29

24. Сформулировать и доказать две теоремы о связи дифференцируемости суммы

тригонометрического ряда Фурье с порядком малости его коэффициентов. ...........................................

30

25. Сформулировать теорему о замкнутости тригонометрической системы в пространстве

интегрируемых на отрезке функций. Привести схему ее доказательства. Вывести формулы для

коэффициентов тригонометрического р яда Фурье на произвольном отрезке. .........................................

31

26. Вывести формулу с в я з и частичных с у м м тригонометрического р я д а Ф ур ь е с ядром Дирихле.

Сформулировать и доказать свойства ядра Дирихле. Вывести комплексную форму записи

тригонометрического р яда Фурье. ....................................................................................................................

32

27. Сформулировать и доказать лемму Римана и теорему Дини о сходимости тригонометрического

ряда Фурье в точке. ............................................................................................................................................

33

28. Дать определения кусочно непрерывной на отрезке функции и обобщенных правой и левой

производных функции. Сформулировать и доказать три следствия из теоремы Дини о сходимости

тригонометрического р яда Фурье в точке. .....................................................................................................

34

29. Сформулировать теорему Дини об интегральной формуле Фурье. Привести схему ее

доказательства. Вывести формулу Ф у р ь е в комплексной форме. Дать определение прямого и

обратного преобразования Ф у р ь е . Сформулировать и доказать т е о р е м у о дифференцировании

изображения. .......................................................................................................................................................

35