- •Первообразная
- •Неопределённый интеграл и его свойства.
- •Правила интегрирования
- •Интегрирование с заменой переменной в определённом интеграле
- •Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
- •Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •7. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •8. Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Формулы Ньютона-Лейбница.
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •20.Вычисление площади поверхности тел вращения.
- •Вычисление объёма тел вращения.
- •Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решение. Интегральные кривые
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •27. Уравнение Бернули.
- •28. Понятие дифференциального уравнения второго порядка и его решение
- •29. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •30. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства их решений
- •31. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •32. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
- •33. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и произвольной правой частью
Первообразная
Определение: Первообразной от функции f(x) в данном интеграле называется функция F(x), производная которой равна данной функции:
F’(x) = f(x)
Теорема: Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.
FxCFxCf x
Определение: Отыскание первообразных называется неопределенным интегрированием, а выражение, охватывающее множество всех первообразных от данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается так: ∫f(x)dx.
Свойства:
(∫f(x)dx)' = f(x)
d∫f(x)dx =f(x)dx
∫f’(x)dx = f(x)+C
∫df(x) = f(x)+C
Неопределённый интеграл и его свойства.
Неопределенным интегралом (интеграл от функции по ) называется совокупность всех первообразных функций для функции .
.
Функция , стоящая под знаком интеграла, называется подинтегральной функцией, а выражение - подинтегральным выражением..
Свойства неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла можно условно разделить на две группы. В первую группу собраны свойства, вытекающие из того, что интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Во вторую группу собраны свойства линейности. Эти свойства вытекают из того, что интегрирование, как и дифференцирование – линейная операция и определяют линейную операцию.
Первая группа свойств.
.
.
Докажем первое свойство.
Так как
Здесь - первообразная для .
Докажем второе свойство.
Обозначим Тогда , а по первому свойству. Поэтому функции являются первообразными для функции . Следовательно, по теоремам о первообразных, они различаются на константу, т.е. или
Третье свойство следует из первого:
Четвертое свойство следует из второго, если вспомнить, что с дифференциалом первого порядка можно обращаться как с алгебраическим выражением (свойство инвариантности формы записи первого дифференциала).
Поэтому надо доказать два первых свойства.
Вторая группа свойств.
свойство суперпозиции
свойство однородности .
Доказательства того и другого свойств проводятся аналогично. Дифференцируем (по свойствам первой группы) левую и правую часть равенства, приходим к тождеству. Затем из теорем о первообразных заключаем, что левая и правая часть равенства, как первообразные одной и той же функции, различаются на константу. Эта константа может быть формально включена в неопределенный интеграл в левой или правой части равенства.
Для того, чтобы вычислить интеграл от функции, проще всего «угадать» первообразную для этой функции по таблице для производных, переписав эту таблицу в обратном порядке. Запишем интегралы для основных элементарных функций.
. Эти формулы лучше запомнить, они очень часто встречаются.
Справедливость этих формул легко проверить, дифференцируя правую часть соотношения и получая подинтегральную функцию.
Правила интегрирования
1. Вынесение функции из-под знака дифференциала. Пример: 2. Внесение функции под знак дифференциала. , где , т.е. является первообразной . Пример: [ Найдем первообразную функции ] Итог: 3. Множитель-константу можно выносить за знак дифференциала и вносить под него (частный случай первого и второго правил). Пример: . 4. Под знаком дифференциала можно прибавлять или отнимать любую константу (частный случай второго правила). Пример: