- •Первообразная
- •Неопределённый интеграл и его свойства.
- •Правила интегрирования
- •Интегрирование с заменой переменной в определённом интеграле
- •Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
- •Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •7. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •8. Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Формулы Ньютона-Лейбница.
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •20.Вычисление площади поверхности тел вращения.
- •Вычисление объёма тел вращения.
- •Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решение. Интегральные кривые
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •27. Уравнение Бернули.
- •28. Понятие дифференциального уравнения второго порядка и его решение
- •29. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •30. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства их решений
- •31. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •32. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
- •33. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и произвольной правой частью
Интегрирование тригонометрических функций
В зависимости от вида подынтегральной функции можно применять для упрощения тригонометрического выражения различные способы.
Для интегралов вида :
а) если хотя бы одно из чисел т,п – нечетное (например, m = 2k + 1), то
.
Пример 9.
б) если т и п – четные, положительные, то степени понижаются сведением к двойному углу по формулам
Пример 10.
в) Если т,п – четные и хотя бы одно из них отрицательно (или если т и п – отрицательные числа одинаковой четности), то используем соотношения
Пример 11.
Пример 12.
Интегралы вида приводятся к табличным с помощью формул
Пример 13.
Интегралы вида , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной t в общем случае с помощью подстановки , откуда . В случае четности R по sin x и
cos x: R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x) используем подстановку t = tg x, откуда .
Пример 14.
При вычислении интеграла применена подстановка .
10. Интегрирование выражений, содержащих положительные степени тригонометрических функций
11. Интегрирование выражений, содержащих отрицательные степени тригонометрических функций
12. Определенный интеграл
Свойства определённого интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Свойства линейности
а) суперпозиции ,
б) однородности
Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)
Свойство аддитивности (по множеству)
Доказательство. Пусть . Выберем разбиение так, чтобы точка с была границей элемента разбиения . Это возможно (следствие). Составим интегральную сумму . Будем измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие). Тогда предел при левой части равенства интегральных сумм равен , первого слагаемого правой части , второго слагаемого правой части .
(свойство «ориентируемости» множества).
Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет
- . Переходя к пределу при измельчении разбиения, получим .
. Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.
.
.
Если на отрезке , то .
Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .
Если на отрезке , то .
Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .
.
(переменная интегрирования – «немая» переменная, ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла)
Определенный интеграл является функцией своих пределов, при фиксированных пределах интегрирования это – число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным.