- •Первообразная
- •Неопределённый интеграл и его свойства.
- •Правила интегрирования
- •Интегрирование с заменой переменной в определённом интеграле
- •Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
- •Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •7. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •8. Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Формулы Ньютона-Лейбница.
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •20.Вычисление площади поверхности тел вращения.
- •Вычисление объёма тел вращения.
- •Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решение. Интегральные кривые
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •27. Уравнение Бернули.
- •28. Понятие дифференциального уравнения второго порядка и его решение
- •29. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •30. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства их решений
- •31. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •32. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
- •33. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и произвольной правой частью
Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решение. Интегральные кривые
Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.
Одной из основных задач является также задача Коши - задача отыскания
частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным
начальным условиям x y G 0 0 , или интегральной кривой, проходящей через заданную
точку x y G 0 0 , .
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид
.
В этом уравнении переменные «можно разделить», т.е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируем полученное соотношение и получаем соотношение вида .
.
Пример. . Заметим, что - решение, это так называемое тривиальное решение. Только, проанализировав, является ли решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на , двигаться дальше. Иначе тривиальное решение будет потеряно.
.
Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при .
.
Обозначим и раскроем модуль:
.
Заменим и разрешим С быть равной нулю, т.к. тривиальное решение есть. Окончательно,
, где С – произвольная действительная постоянная.
Обычно все эти «подводные камни» опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу выписывают решение уравнения .
Пример. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза больше углового коэффициента радиус-вектора в точке касания.
- решение, . Подставляя начальные условия, получим .
Пример. Формула Циолковского.
Ракета вместе с топливом, массой , движется прямолинейно, без учета гравитации. Скорость истечения топлива , в начальный момент времени ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M. Вывести формулы для скорости ракеты .
Выделим элемент массы dm. По закону сохранения количества движения
Подставляя , получим . Отсюда
- формула Циолковского.
Однородные дифференциальные уравнения
26. ЛДУ 1-го порядка.
Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно независимой переменной, неизвестной функции и ее производных.
Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:
. Здесь x – независимая переменная, y(x) – неизвестная функция.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.
Если, пользуясь теоремой о неявной функции, из уравнения общего вида удается выразить явно старшую производную, то такое уравнение называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.
.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида выглядит следующим образом:
.
Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешить относительно производной: или
.
Функция называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаем тождество.
.
Функция называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области , если
при любой постоянной функция является решением,
для любого набора начальных условий существует константа такая, что , т.е. существует решение из семейства (при ), удовлетворяющее этим начальным условиям.
Одной из основных задач является задача отыскания общего решения дифференциального уравнения
Если зафиксировать постоянную в общем решении, мы получим частное решение дифференциального уравнения первого порядка.
Функция называется первым интегралом дифференциального уравнения, если она сохраняет свои значения на его решениях ( =С).
По сути дела, это – закон сохранения (функция сохраняет значения на решениях дифференциального уравнения).
Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.
Одной из основных задач является также задача Коши - задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям или интегральной кривой, проходящей через заданную точку .