Математический_анализ_2_семестр

выражением..

Свойства неопределенного интеграла.

Свойства неопределенного интеграла можно условно разделить на две группы. В первую группу собраны свойства, вытекающие из того, что

интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Во вторую группу собраны свойства линейности. Эти свойства вытекают из того, что интегрирование, как и дифференцирование – линейная операция и определяют линейную операцию.

Первая группа свойств.

1)dxd f x dx f x .

2)dxd f x dx f x C

3)d f x dx f x dx

4)df x f x C .

Докажем первое свойство.

2

Четвертое свойство следует из второго, если вспомнить, что с дифференциалом первого порядка можно обращаться как с алгебраическим выражением (свойство инвариантности формы записи первого дифференциала).

Поэтому надо доказать два первых свойства.

Вторая группа свойств.

1)свойство суперпозиции f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx

2)свойство однородности f x dx f x dx .

Доказательства того и другого свойств проводятся аналогично. Дифференцируем (по свойствам первой группы) левую и правую часть равенства, приходим к тождеству. Затем из теорем о первообразных заключаем, что левая и правая часть равенства, как первообразные одной и той же функции, различаются на константу. Эта константа может быть формально включена в неопределенный интеграл в левой или правой части равенства.

Для того, чтобы вычислить интеграл от функции, проще всего «угадать» первообразную для этой функции по таблице для производных, переписав эту таблицу в обратном порядке. Запишем интегралы для основных элементарных функций.

лучше запомнить, они очень часто встречаются.

Справедливость этих формул легко проверить, дифференцируя правую часть соотношения и получая подинтегральную функцию.

3

Лекция 2. Методы интегрирования и таблица интегралов.

Метод подведения под дифференциал.

Метод замены переменной.

Это – универсальный метод, метод подведения под дифференциал является частным случаем метода замены переменной.

Теорема. Пусть функция x u t непрерывно дифференцируема в

некоторой области и имеет непрерывно дифференцируемую обратную функцию t u 1 x . Тогда f x dx f u t u t dt, где t u 1 x .

Доказательство. Дифференцируя обе части, используя теоремы о производной сложной функции и инвариантность формы записи первого дифференциала, получим тождество дифференциалов.

равенство интегралов в левой и правой частях.

Заметим, что требования к обратной функции нужны, чтобы суметь возвратиться обратно, от переменной t к переменной x .

Для вычисления интегралов вида u x dv x , если вместо него удобно вычислять интеграл v x du x , пользуются методом интегрирования по

частям.

u x dv x = u x v x - v x du x ,

если интегралы в обеих частях соотношения существуют.

Докажем справедливость этой формулы. Дифференцируя произведение функций, получим d u x v x v x du x u x dv x , или

4

u x dv x d (u x v x ) v x du x .

Интегралы левой и правой частей существуют( d u x v x u x v x C ). Интегрируя, получим нужное соотношение.

Примеры.

ln xdx x ln x xd ln x x ln x x C

x cosxdx xd sin x x sin x sin xdx x sin x cosx C

Теперь, подставляя второй интеграл в первый, получим

e x sin xdx 12 e x sin x cosx .

Аналогично, подставляя первый интеграл во второй, получим

e x cosxdx 12 e x sin x cosx .

Пополним таблицу интегралов, применяя методы интегрирования (в первой лекции получены четыре интеграла).

5