Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический_анализ_2_семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2015

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

y11

y2 1

...

yn 1

...

y11

2 1

yn 1

...

W x

y1 n 1

y2 n 1 ...

yn n 1

,W x

y1 n 1

y2 n 1 ...

yn n 1

+...

y1 n

y2 n

...

yn n

y1 n

y2 n

...

yn n

y11

y2 1

...

yn 1

y11

y2 1

...

yn 1

...

y1 n 1

y2 n 1

...

yn n 1

y1 n 1

y2 n 1

yn n 1

y1 n

y2 n

...

yn n

...

y1 n

y2 n

yn n

a11 y11 a12 y12

...a1n y1n

a11 y21 a12 y22

...a1n y2n ...

a11 yn1

... a1n ynn

...

y1 n 1

y2 n 1

...

yn n 1

y1 n

y2 n

...

yn n

y11

y2 1

...

yn 1

+...+

...

y ...a

n 11

2 1

...a

1 n

2 n

...

n 11

n 1

...a

n 1 n

n n

n 11 11

n 1 n 1 n

y1 n

y2 n

...

yn n

y11

y2 1

...

yn 1

...

y1 n 1

y2 n 1

...

yn n 1

an 1 y11 ...an n y1 n

an 1 y2 1

...an n y2 n ...

an 1 yn 1 ...an n yn n

(расписывая в сумму определителей, учитывая равенство нулю определителей с одинаковыми строками)

a11 y11	a11 y21	...	a11 yn1		y11
...	...	...	...	...+	...
y1 n 1	y2 n 1	...	yn n 1	...+	y1 n 1
y1 n	y2 n	...	yn n		an n y1 n

a11 ... ann W x .

Получено соотношение W x TrA x W

y2 1	...	yn 1
...	...	...	=
y2 n 1	...	yn n 1	=
y2 n 1	...	yn n 1
an n y2 n	...	an n yn n
, где	TrA x a11 x ... ann x -

след матрицы системы. Отсюда имеем формулу Остроградского – Лиувилля.

W x C exp TrA x dx .

Заметим, что эту формулу можно получить как следствие из теоремы Лиувилля о фазовом объеме.

Теорема о структуре общего решения неоднородной системы.

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы.

yoн x

yoo x yчн x

Доказательство.

yoн x

yoo

x yчн x

решение неоднородной

системы по теореме о свойствах решений.

2) Зададим произвольные начальные условия

yoн

x0 y0 . Выберем какое-

либо

частное решение

неоднородное

системы

yчн x и

вычислим

для него

начальные

условия

yчн x0 . Составим

систему

уравнений

yoo

yoн x0 yчн x0

u и запишем ее покоординатно.

C1 y11 x0 ... Cn yn1 x0 u1

...............................................

C1 y1n

x0 ... Cn ynn

x0 un

Определитель этой системы – определитель Вронского, он не равен нулю, так как составлен из линейно независимых решений, составляющих фундаментальную систему решений. Следовательно, набор констант из этой системы уравнений определяется однозначно. Теорема доказана.

Метод вариации произвольной постоянной.

Общее решение однородной системы можно записать в виде

yoo x Y x C , где		Y x - фундаментальная матрица системы, C - вектор
произвольных постоянных.
Будем искать решение неоднородной системы в том же виде, варьируя
вектор произвольных постоянных:

yoн	x Y x C x .
Вычисляем производную и подставляем в уравнение неоднородной
системы:

yoн	x Y x C x Y x C		x ,

yoн	x Y x C x	Y x C x A x Y x C x f x ,
Так как фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению однородной


системы, то Y x A x Y x . Поэтому в предыдущем уравнении (как и всегда в
методе вариации) сокращается пара слагаемых. Получаем уравнение
			x . Так как фундаментальная матрица не вырождена

Y x C x f

( detY x W x 0 ),

то отсюда получаем уравнение для определения вектора

x :

x Y

x f x .

Интегрируя, получаем

C x

Y 1 x f

x dx C1

(здесь предполагается,

что

при вычислении

интеграла вектор констант не добавляется, он уже добавлен в виде вектора C1 ).

Подставляя в yoн , имеем

oн

x Y x

(

x f x dx .

Y 1 x f x dx C

) Y x C Y x Y 1

Здесь в полном соответствии с теоремой о структуре общего решения неоднородной системы первое слагаемое представляет собой общее решение

однородной системы, а второе слагаемое – частное решение неоднородной системы.

Лекция 22. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде

...

, где A ...

....

... ,

...

(векторная форма записи)

...

an1

ann

или

a11 y1

... a1n yn

....................................

(покоординатная форма записи).

an1 y1

... ann yn

Будем искать решение системы в виде

e x ,

... .

в уравнение системы, получаем

Подставляя y

e x Ae x ,

e x A

A .

Получено

уравнение для

определения соответствующего собственному

линейного оператора с матрицей

значению собственного вектора

( 0)

A . Система уравнений

A или A E 0

имеет ненулевое решение только, когда определитель системы равен нулю, т.е.

A E 0.

Это – характеристическое уравнение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В развернутом виде его можно записать так:

a11	a12	...	a1n

a21	a22	...	a2n	0.
...	...	...	...

an1	an2	...	ann

Характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n - го порядка относительно . Из основной теоремы высшей алгебры известно, что оно имеет ровно n корней. Часть корней может быть действительными корнями, часть - комплексными, но комплексные корни встречаются только парами комплексно-сопряженных корней. Это следует из действительности коэффициентов характеристического уравнения и теорем Виета.

1) Рассмотрим случай, когда все собственные значения 1,... n линейного

оператора с матрицей A (или все характеристические числа матрицы A , что одно и то же) действительны и различны.

Из линейной алгебры известно, что действительным различным

собственным	значениям	1,... n соответствуют линейно независимые

собственные векторы 1 ,..., n , которые можно определить по собственным
значениям из системы уравнений

A	или A E 0 .
В развернутом виде эти уравнения для
В развернутом виде эти уравнения для			k ,	k можно записать в виде
			k ,

a				...
	11		k
...				...
		a1n		...
		a1n		...

a		k	0

1n		1

...	...			... .
		k
	n			0
ann k

Теперь решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами будут

1x 1

n x

,...., y

Проверим, что решения являются линейно независимыми. Составим

определитель Вронского

y1 ...

y n

...

exp( 1 ... n

x) 0 , так как векторы

... ... ...

...

y1 ...

y n

...

1 ,..., n линейно независимы и определитель из координат этих векторов

отличен от нуля. Так как определитель Вронского отличен от нуля, то полученные решения линейно независимы. Так как этих решений ровно n, то они составляют фундаментальную систему решений. Следовательно, общее решение системы линейных однородных уравнений может быть записано в виде

yoo

		n

C1 y1	... Cn yn	Ck e k x k .

k 1

				x x 4 y												1		4
Пример.										,			A							,
Пример.										,			A							,
							x		2 y									2
				y			x		2 y							1		2
	A E					1				4					2 6 0,											3,				2	2


							1 2																				1
							1 2
							4	4		1																	1

3,										1			0,				1				1	,			1			,
3,													0,									,						,
1							1	1		1							1				2						1
										2
						1			4				2															4

			2,										1			0,			2	4			2	,		2			,
			2,										2			0,				4				,					,
		2			1				4				2						1				2					1
					1				4				2															1
							1							4
	y	oo	C e 3t						C		2	e2t .
		oo	1								2
								1						1

xC1e 3t 4C2 e2t

yC1e 3t C2 e2t

2)Рассмотрим случай, когда среди корней характеристического уравнения имеются s простых корней 1,... s .

Этот случай легко свести к предыдущему. Для каждого собственного

значения (характеристического числа)		отыщем собственный вектор		из
значения (характеристического числа)	k ,	отыщем собственный вектор	k	из
	k ,
системы уравнений

a				...
	11		k
...				...
		a1n		...
		a1n		...

a		k	0

1n		1

...	...			... .
		k
	n			0
ann k

Затем найдем соответствующие им решения из фундаментальной системы

	1	e	1x 1	s	e	n x	s	и запишем общее решение в виде

решений y				,...., y

yoo	... C1 y1			... Cs ys		... ..

Вся разница с предыдущим случаем в том, что фундаментальная система решений не исчерпывается найденными решениями, есть еще решения, соответствующие другим корням характеристического уравнения.

3)Среди корней характеристического уравнения имеется простая пара комплексно сопряженных корней 1,2 i .

Справедливо утверждение, которое мы примем без доказательства:

простой паре комплексно сопряженных корней

1,2

соответствует

пара комплексно сопряженных собственных векторов

iv .

Запишем формально соответствующую пару решений:

e i u iv e x cos i sin u iv

1,2

e x u cos x v sin x i u sin x v cos

Эти решения комплексные. Вместо них мы (по линейности и теоремам о

свойствах

решений)

можем

взять

решения

e x u cos x v sin x ,

e x u sin x v cos x

Общее решение можно записать в виде:


	yoo	... C1 y1 C2 y2										... ..
				x x y											1 1
	Пример.									,		A
						x y
				y		x y									1 1
	A E				1					1				2 2 1						1 0,		1,2		1 i .
	A E													2 2 1						1 0,		1,2		1 i .
						1			1
	1 i,					i		1							0,					i		i				1,	1,		0	1
	1 i,												1		0,	1				, 2				,		1,	1,	u	, v
	1																						1							0
						1 i 2														1			1						1	0
		0					1										0				1
											,				et							cost			,
y1	et		cost					sin t			,			y 2	et			sin t				cost			,

		1					0										1
		1					0										1				0

												C sin t C								cost
	yoo	C1 y1			C2 y2				et						1				2
														C1 cost C2 sin t

x et C1 sin t C2 cost y et C1 cost C2 sin t

4)Среди корней характеристического уравнения встречаются кратные действительные корни или кратные пары комплексно сопряженных корней.

Этот случай мы не можем рассмотреть подробно, так как пока в курсе математики для инженеров не рассматривается жорданова форма матрицы, а именно к матрице с жордановыми клетками в общем случае приводится матрица системы (хотя матрица может привестись и к диагональному виду, и проблемы это не снимает). Укажем только алгоритм действий для действительного корня (или пары комплексно сопряженных корней) кратности r. Алгоритм этот основан на двух теоремах.

Теорема. Существует система из n линейно независимых векторов


k1	... kqk , удовлетворяющих соотношениям

A k1

A k 2

k 2

................................... .

A kqk

kqk

порожденные собственным

Векторы k 2 ... kqk - присоединенные векторы,

- кратность корня

сумма q

для различных корней

равна

вектором k1 , q

Теорема. Каждому корню k

соответствует qk

решений вида

y k1

k1e k x

y k 2

( k 2

x k1 )e k x

……………………….

xqk 1

y kqk

( kqk

x kqk 1

...

k1 )e k x

1 !

Для каждого кратного корня надо найти присоединенные векторы по

первой теореме и построить решения по второй теореме.

Если порядок системы мал, то можно действовать проще.

Пусть матрица A E для

корня, кратности r

будет иметь ранг n r .

Это означает, что для данного корня можно подобрать r линейно независимых собственных векторов и, соответственно, r линейно независимых

решений вида

Пример.


y	e x в фундаментальной системе решений.
x y z		0		1	1

y z x ,		A	1	0	1	.
z x y			1	1	0
z x y			1	1	0

Заметим, что матрица симметрическая, она приводится к диагональному виду ортогональным преобразованием. Следовательно, собственные векторы можно выбрать ортогональными, так как именно в базисе из собственных векторов матрица имеет диагональный вид, а ортогональное преобразование переводит один ортонормированный базис в другой.

Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни.

								1		1
								1		1
	A E					1				1		3 3 2 2 1 2 0,											2,					2,3	1
	A E					1				1		3 3 2 2 1 2 0,											2,						1
																							1
						1		1
		2 1							1					1		1		1							1
		2 1						1	1				2 1			2		3 0							1
2,			1		2						0, 1			2				0	1	1 1		,				1	.
2,			1		2			1	1		0, 1			2	1		1	0	1	1 1		,	1			1	.
									2				1		2		3		1	2	3
									1				1	1			1
			1										1 2 2 3 0
			1		1 2				3				1 2 2 3 0												1

				1
		e2t
	y1	e2t			1 .


				1
					1		1	1
									1
1,					1		1	1 2			0		1	2	3		0 .		Кратность		корня			равна				2.
					1		1	1
									3

Ранг матрицы равен n-r = 3 – 2 = 1. Из полученного уравнения можно выбрать координаты двух линейно независимых векторов. Например,

	2			0				2					0
	1			1			e t	1				e t	1	.
2	1	,	3	1	. Тогда y	2	e t	1	,	y	3	e t	1	.

	1			1				1					1

yoo C1e2t

e t C2

или

x C1e2t 2C2 e t

C2 e t C3e t .

y C1e2t

z C e2t

e t C

e t

Если действительному

корню k

кратности r соответствует

m(m<r)

линейно независимых собственных векторов, то решение надо искать в виде

Координаты

векторов

e k x w

x 2 w

...x r m 1 w

r m

1,2,...r .m

, k

отыскиваются

путем

подстановки решения в

систему

дифференциальных уравнений и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x.

		x 3x 4y

Пример.			x y
		y	x y
	3	4		2 2 1	0,		1,	Rang A E 1
	3	4

	1	1				1,2
	1	1
	x A Bt et , y D Kt et .					Подставим		x, y в систему уравнений,

приравняем коэффициенты при et , tet в каждом уравнении, получим систему уравнений для определения неопределенных коэффициентов

A B 3A 4D					B 2K
			, откуда	получим	B 2K		.	Можно выбрать,
B 3B 4K			, откуда	получим			.	Можно выбрать,
		A	D		2A 4D		B
D K		A	D
например,
1) B K 0 ,			D 1 , A 2 , тогда x 2et , y et или
	1				t	1		t
2) D		, K 1, A 0, B		2, тогда x 2t e		, y	t e		.
2) D		, K 1, A 0, B		2, тогда x 2t e		, y	t e		.
	2					2

Лекции 23-24. Устойчивость движения, классификация точек покоя, теоремы Ляпунова.

Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений, запишем ее уравнения в векторной форме


x	f x, t

или в координатной форме
xk	f k	x1 ,... xn , t	k 1,...n .
В качестве независимой переменной выбрано время t, поэтому система
дифференциальных уравнений является					моделью	некоторого	процесса	–
				во времени или движения материальной точки,
изменения переменной x t				во времени или движения материальной точки,
занимающей		в фазовом		пространстве	текущее	положение	x1 ,... xn	и

изменяющей это положение с изменением времени t. Таким образом, движение

– это частное решение системы дифференциальных уравнений.

	t
Зададим некоторые начальные условия t0 , x	t	0 x0		. Пусть выполняются
		f k	k 1,...n,		s 1,...n в
условия теоремы Коши (непрерывны f ,
условия теоремы Коши (непрерывны f ,		xs
		xs

рассматриваемой области). Тогда через любую точку расширенного фазового пространства t0 , x01... x0n из рассматриваемой области проходит единственная

интегральная кривая – график частного решения 0 01 0n . Назовем x t, t , x , ...x

движение, «начинающееся» в точке t0 , x01... x0n невозмущенным движением

xt, t0 , x01 , ...x0n . Если «возмутить» – несколько изменить начальные условия в фазовом пространстве, выбрать их , то изменится и движение.t0 , x01... x0n


			«начинающееся» в точке t				, возмущенным
Назовем движение,			«начинающееся» в точке t		0 , x01	... x0n	, возмущенным
	t, t0			. Если возмущение начальных условий невелико, то
движением x	t, t0	, x01	, ...x0n	. Если возмущение начальных условий невелико, то

в некоторой окрестности начальной точки траектории – движения тоже близки.

Справедлива теорема о непрерывности решения по начальным условиям.

Пусть

выполнены

условия

теоремы

Коши.

Тогда

t, t

t, t0 , x01 ,... x0n

x0k x0k

0 , x01

,... x0n

при k 1,...n ,

t t0

Отсюда видно, что близость возмущенного и невозмущенного движений гарантируется в некоторой временной окрестности, размер которой зависит от размеров трубки – окрестности («допуска») в фазовом пространстве координат.

Однако в практике встречаются процессы, для которых надо гарантировать близость возмущенного и невозмущенного движений «вообще», при любом времени t > T (важно, чтобы существовало это некоторое T).

Например, запустив спутник на орбиту, полезно быть уверенным, что он не свалится нам на голову через 10 или 100 лет, а будет «вечно» находиться на орбите.

В наше время приходится сталкиваться с экологическими проблемами. Кто же знал, конструируя двигатель внутреннего сгорания, что через некоторое

время использование этого открытия

поставит

под

угрозу существование

жизни на Земле?

Рассматривая

близость

возмущенного и

невозмущенного движений

«вообще», при любом времени t > T , мы приходим к определению

устойчивости движения по Ляпунову.

Движение называется устойчивым по Ляпунову, если

0, T :

x0k

xk t, t0 , x01

,... x0n xk t, t0 , x01 ,... x0n

при k

1,...n ,

t T

Смысл определения в том, что для любого размера окрестности «допуска» (по фазовым координатам) невозмущенного движения существует размер окрестности, в которой можно «возмутить» начальные условия. Причем это возмущение приведет к тому, что возмущенное движение после некоторого момента времени Т войдет в окрестность «допуска» и останется в этой

окрестности при любом t > T.			t, t0
	lim t

Если движение устойчиво по Ляпунову и		x		, x0	x t, t0	, x0	0 ,

то такое движение называется асимптотически устойчивым.

Если движение асимптотически устойчиво, то возмущенное движение с ростом времени стремится к невозмущенному.

Движение называется неустойчивым по Ляпунову, если

0 0, T , s 1, n :

x0k x0k

xs t, t

xs t, t0 , x01 ,... x0n

при

k 1,...n ,

t T

0 , x01

,... x0n

Смысл этого определения в том, что как бы ни было мало возмущение начальных условий, все равно со временем хотя бы по одной координате возмущенное движение выйдет из некоторой окрестности «допуска» невозмущенного движения.

Теорема. Задача об устойчивости движения может быть сведена к задаче об устойчивости тривиального (тождественно равного нулю) решения

системы.

. Тогда

Доказательство. Обозначим z

x t, t

, x

x t, t

, x

t, t0 , x0 )

t, t0 , x0

x t, t

, x0

f (t, x t, t0

, x0

) f (t, x

f (t, z

x t, t0

, x0 )

f (t, x t, t0 , x0 )

t 0 имеем

t 0 , поэтому задача об устойчивости движения для

При z

исходной системы уравнений может быть заменена эквивалентной ей задачей об устойчивости тривиального решения для системы

						) .
z	f (t, z	x t, t0	, x0	) f (t, x t, t0	, x0	) .

Поэтому обычно заранее делают указанную замену и исследуют задачу об устойчивости тривиального решения.

Таким образом, задача об устойчивости движения может быть сведена

для автономной системы к исследованию характера ее точки покоя								0	(при
							x	0	(при
рассмотрении свойств автономных систем было показано:					если		0 - точка
рассмотрении свойств автономных систем было показано:					если	x	0 - точка

покоя, то x t 0 - решение системы).
Устойчивость по первому приближению.
Будем рассматривать автономную систему
Будем рассматривать автономную систему	x	f	x


		A		f
и ее «систему первого приближения» x Ax,		A		\|x	0
				x

Заметим, что систему первого приближения можно строить, линеаризуя в окрестности нуля элементы матрицы, заменяя бесконечно малые элементы матрицы эквивалентными.

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Пусть 1) f k x1 ,... xn				непрерывны и непрерывно дифференцируемы по
x1 ,... xn ,

			n
		x1 ,... xn	n		, 0 ,
2)	fk	x1 ,... xn	xs2		, 0 ,	k 1,...n .


			s 1

Если все собственные числа матрицы A системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение устойчиво.

Если хотя бы одно собственное число имеет положительную действительную часть , то тривиальное решение неустойчиво.

x	sin x 1 cos2 y
Пример.	x sin y
y	x sin y	x x		1	0
Система первого приближения				A
Система первого приближения				A
			x y,		1
		y	x y,	1	1

A E	1		0	1 2	0,			1 Тривиальное решение
A E				1 2	0,			1 Тривиальное решение
		1				1	2
		1	1

неустойчиво.

x sin x 1 cos2 y

Пример.

y x sin y

x x

Система первого приближения

y x y,

A E	1		0	1 2	0,
A E				1 2	0,
		1				1
		1	1

	1		0
A
		1
		1	1
2	1		Тривиальное

решение устойчиво.

Поскольку для автономных систем анализ устойчивости тривиального решения сводится к исследованию характера точки покоя, то зная поведение решений в окрестности различных точек покоя, мы выясним тем самым поведение траекторий систем.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.09.2019967.78 Кб7матан. экзамен.docx
#
10.02.2015335.12 Кб31МатАн.pdf
#
23.11.20192.67 Mб23Матем. методы в инж. деятельности.doc
#
24.12.20182.5 Mб48Матем.анализ 3 семестр.doc
#
07.05.2019131.07 Кб5Математика в различных сферах жизнедеятельности...doc
#
24.05.20152.05 Mб23Математический_анализ_2_семестр.pdf
#
23.03.20168.66 Mб51Материаловедение.djvu
#
23.12.2018751.62 Кб16материаловедение.doc
#
23.03.201610.38 Mб67материалы к лаб 7.docx
#
10.02.2015565.34 Кб1817маткад учебник.pdf
#
21.09.20191.23 Mб46матмод-ответы вер.0.91.docx