Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический_анализ_2_семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2015

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

P x

Ak 1

= M x + x b +…+

...

Q x

x k

x k 1

M k x Nk

M k 1 x Nk 1

M1 x N1

Lx D

+…+

+ …+ x 2 px q

+ …+

x2 px q k

x2 px q k 1

x 2 p1 x q1

где b - простой действительный

корень

Q x , a - действительный корень

Q x кратности

k ,

- пара комплексно сопряженных корней кратности k

Q x (комплексно сопряженные

корни

x2 px q ),

- простая пара

комплексно сопряженных корней Q x (корни x 2 p x q

Доказательство. Применяем к рациональной функции лемму 1, выделяем полином – целую часть M x , затем по лемме 2, выделяем члены разложения,

соответствующие простым и кратным действительным корням. Затем по лемме 3 выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным парам комплексно сопряженных корней. Так как многочлен может иметь корни лишь перечисленных типов, то разложение этим и исчерпывается.

Следствие 3. Задача интегрирования рациональной функции сводится к задачам интегрирования элементарных рациональных дробей четырех типов

Lx D

Mx N

, 2)

, 3)

, 4)

x k

x 2 p1 x q1

(x 2 px q)k

Способы вычисления коэффициентов при разложении рациональной

дроби на элементарные.

3x5 x4 7x3 2x2 2x 1

B Mx N

Px Q

Пример.

x2 1 x2 1 2

x 1

x2 1

x2 1 2

A x 1 x 2 1 2 B x 1 x 2 1 2 Mx N x 2 1 x2 1 Px Q x 2 1

x 2 1 x 2 1 2

Теперь надо приравнивать многочлены в числителях дробей и определять неизвестные коэффициенты A, B, M, N, P, Q.

Это можно сделать двумя способами.

1 способ – приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях переменной, составлять и решать систему уравнений.

X5\| 3=A+B+M
X4\| 1=A-B+N
X3\| 7=2A+2B+P
X2\| 2=2A-2B+Q	Решение системы A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.
X \|2=A+B-N-P

1|1=A-B-N-Q

2способ – задавать значения неизвестной, вычислять значения числителей и составлять систему уравнений.

X=1 | 16=8A

X= -1| -8=-8B

X=0 | 1=A-B-N-P

X=2 | 181=75A-25B+30M+15N+6P+3Q

X=-2 | -96= -25A-75B-30M+15N-6P+3Q

X=-3 | -824= -200A –400B-240M –80N –24P+8Q

Решая эту систему уравнений, получим то же решение A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

Какой способ применять – зависит от того, где получается более простая и удобная для решения система уравнений.

В данном примере вторая система сложнее первой.

Интегрирование элементарных рациональных дробей четырех типов.

dx B ln | x | C ,

k 1.

1 k

x a

k 1

Mx N

2ax b

bx c

Mb	dx
		=
	bx c
2a ax2

M			2			Mb	dx

	ln	ax		bx c	N			(пример рассмотрен во второй

2a						2 ax2	bx c

лекции). Для того, чтобы вычислить интеграл от дроби в п.3, достаточно в соответствующем примере второй лекции обозначить коэффициенты другими буквами.

Mx N

2x p

dx =

dx N

(x 2 px q)k

2 x 2 px q k

2 x 2

px q k

, где

2 1 k x2 px q k 1

px q k

Вычислим интеграл J k .

J k

x2 px q k

y 2 b2 k

y 2 b2 y 2

2 y

k 1

y 2

y 2 b2

1						1								1							1
1		J k 1		-		1			y d					1							1		=
b	2	J k 1		-		2b		2	y d			1	k				y		2	b		2 k 1	=
b						2b						1	k				y			b
1									1							y						1
1		J							1							y						1		J
		J					2 1 k y															2 1 k		J
b	2		k 1											2	b			2	k 1						k 1
b															b
1						1																y
		1								J	k 1
	2	1								J	k 1													k 1
b					2 1 k										2b2 1 k y 2 b2

По этой рекуррентной формуле можно последовательно вычислять

интегралы J k				при различных k , предварительно вычислив
J				dy		1	arctg	y	C .
	1	y	2	b2
					b			b

Таким образом, показано, что все четыре типа элементарных рациональных дробей интегрируемы. Следовательно, класс рациональных

функций представляет собой класс интегрируемых функций.

При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целую часть и раскладывают рациональную дробь на элементарные. Затем интегрируют элементарные рациональные дроби.

Пример.				A B x2 2B C x B A C
2x2 3x 1	A	B	C
				x 1 2 x 1
x 1 2 x 1	x 1	x 1	x 1 2

Составляем и решаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов (первый способ определения коэффициентов)

A B 2
		Получим A B C 1
2B C 3		Получим A B C 1
	1
B A C	1

Можно воспользоваться и вторым способом определения коэффициентов.

X=0 | -1 = B-A-C

X=1 | 4 = A+B+2B+C+B-A-C= 4B

X=-1| -2 = A+B-2B-C+B-A-C= -2C. Отсюда C=1, B=1, A=1.

Вторая система проще, чем первая.

Теперь интегрируем сумму элементарных дробей.

2x2 3x 1					1
	dx ln	x 1	ln	x 1
x 1 2 x 1						x 1

Метод Остроградского.

Если знаменатель рациональной дроби содержит пары комплексно сопряженных корней большой кратности, то удобно применять метод Остроградского. Он состоит в следующем: вычисляют

Q1 x НОД (Q x , Q x ), Q x Q1 x Q2 x . Затем интеграл представляют в виде

	P x		X x	Y x					степень X x на единицу
		dx					dx ,	где		меньше
	Q x		Q x	Q		x
			1		2
степени Q1 x ,			а степень Y x на единицу меньше степени							Q2 x .
Коэффициенты полиномов						X x ,		Y x	определяются при дифференцировании

левой и правой частей и приравнивания коэффициентов при равных степенях x.

Лекция 4. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций.

Интегрирование рациональных функций от тригонометрических функций.

1. R sin x, cosx dx , где R( ) – рациональная функция своих аргументов.

Такие интегралы всегда можно взять универсальной тригонометрической

подстановкой (лекция 1)

		x					x		x					1			1						2t

t tg		2 , sin x 2 sin 2 cos 2									2		1		1				1 t 2			1 t 2		,
													1		t	2
															t
																		1 t 2
			2 x		2	x		1					1					1 t 2
cos x	cos			sin																	,
cos x	cos			sin		2		1 t		2				1				1 t		2	,
	2					2		1 t				1		1				1 t
												1		t 2
														t 2
						2
x 2arctgt,				dx				dt
x 2arctgt,				dx	1 t 2			dt

2. R sin x, cosx dx .

А) Если R sin x, cos x нечетна по sin x, то делают подстановку t = cos x. Б) Если R sin x, cos x нечетна по cos x, то делают подстановку t = sin x.

В) Если R sin x, cos x не меняет знака при изменении знака sin x или cos x, то делают подстановку t = tg x.

t tgx, sin x									t			, cos x						1		, x		arctgt, dx				dt

																									1 t 2
								t 2		1							t 2		1						1 t 2
Пример.							dx					. Здесь мы имеем случай В). Подстановкой t tgx этот

									2
				1		3cos					x
интеграл сводится к интегралу
			dt												dt	1					t	C	1		tgx		C .
																		arctg						arctg
		2											t	2	4	2		arctg			2		2	arctg
		2				3							t		4	2					2		2			2
	1 t		1			3
	1 t		1		1 t 2
					1 t 2

3. Интегралы sin mx cosnx dx,

sin mx sin nx dx,

cosmx cosnx dx

сводятся к табличным интегралам от синуса и косинуса, если преобразовать

произведение тригонометрических функций в сумму по формулам

sin mx cosnx

sin m n x sin m n x ,

sin mx sin nx

cos m n x cos m n x ,

cosmx cosnx

cos m n x cos m n x ,

sin 2 x

1 cos2x , cos2

1 cos2x .

Пример. sin 3x sin 5x dx 12 cos2x cos8x dx sin 2x 14 sin 4x C

4.Интегралы вида sin m x cosn x dx

a)Если m или n – нечетное положительное число, то sin x или cos x вносят под дифференциал.

Пример. sin 3 x cos2 x dx 1 cos2 x cos2 x d cosx 13 cos3 x 15 cos5 x C b) Если m, n – четные положительные числа, то применяют формулы

удвоения аргумента cos2 x

1 cos2x

sin 2 x

1 cos2x

Пример. sin 2

x cos2 x dx

sin 2

2x dx

1 cos4x

sin 4x C

tg m x dx,

ctg m x dx ,

где m –

целое положительное число, берутся с

использованием формул tg 2 x sec 2

x 1, ctg 2

x cos ec 2

x 1.

Пример.

ctg

x dx

1 dx

dx 2

dx x

sin

= - 1 ctg 2 x dctgx 2ctgx x ctgx

ctg 3 x 2ctgx x C

d) В общем случае интегралы вида

sin m x cosn x dx

вычисляются по

рекуррентным

формулам

использованием

основного

тригонометрического тождества.

Пример.

sin 2 x cos2 x

cos x

cos xdx

sin

sin x

sin

cos x

u cos x

sin 3

sin x dx

2 sin 2

cosx

ln tg

C .

2sin

sin x

sin

Интегрирование иррациональных функций.

Каких-либо общих методов интегрирования для всего класса иррациональных функций неизвестно, да и вряд ли такие методы можно придумать.

Общая идея состоит в том, чтобы придумать рационализирующую подстановку, т. е. найти такую замену переменных, чтобы в новых переменных интеграл был бы интегралом от рациональной функции. А, как показано на прошлой лекции, интегралы от рациональных функций всегда можно взять.

Ниже приводятся некоторые интегралы, для которых известны рационализирующие подстановки.

b n

ax b

1. R x,

dx ,

где

) –

рациональная

функция

cx d

аргументов. Рационализирующая подстановка z n

ax b

, где n НОК n, q .

cx d

Пример.

x 1

dx 6

t 7

- интеграл от рациональной функции,

x 1

1 t

если взять t 6

x 1, t 6

x 1.

Pn x

Этот

интеграл

можно

представить

в виде

ax2

bx c

Pn x dx

ax2 bx c

, а затем

искать

n 1

ax2 bx c

коэффициенты полинома n-1 степени и константу, дифференцируя обе части, приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

x2 dx

Пример.

Ax B x2

x 1

x2 x

x 1

Дифференцируем обе части

Ax B x

A x2 x 1

x2 x 1

Приводим к общему знаменателю

x A x

x 1 Ax B x

Приравнивая

коэффициенты при

одинаковых

степенях,

получаем

, B

. Теперь, выделяя

полный квадрат, получаем в правой части разложения «длинный логарифм»:

.	x2 dx			x	3				1			1
	x2 dx			x	3		2		1			1		2
						x		x 1		ln	x		x		x 1	C
						x		x 1		ln	x		x		x 1	C
	x2	x	1	2	4				8			2

3. В интегралах вида

рационализирующая подстановка

x n

ax2 bx c

Пример.

. Применяем подстановку t

, dx

dt .

x 2 1

t 5 dt

t 4 dt

. Это интеграл, рассмотренный выше в

t 2

1 t

t 2 1

п.2.

Дифференциальный бином. xm a bxn p dx , где

, n

, p

рациональные числа. Такие интегралы берутся только в трех случаях (условия П.Л.Чебышева):

а) p – целое (подстановкой t

НОК

x , где

, n

m 1

q - целое (подстановкой t p2

б)

a bxn ),

в)

p q

- целое (подстановкой t p2

b ).

x n

Пример. Показать, что в интеграле

x a bx

p q - целое и равно 2.

Показать, что подстановка

- рационализирующая.

R x,

Интегралы вида

ax2 bx c

сводятся к одному из трех типов

интегралов:

а) R z,

dz ,

m2 z 2

для

которого

рационализирующие подстановки

z m sin t, z m tht ,

R z,

dz ,

б)

m2 z 2

с подстановками

z m tg t, z m sh t ,

R z,

dz , с подстановками z

, z m ch t .

в)

z 2 m2

cost

Упражнение. Вычислить интегралы

4 z 2 dz,

1 z 2 dz .

«Неберущиеся» интегралы.

Это интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях. Для таких интегралов приходится вводить специальные символы. Так получается потому, что класс интегралов от элементарных функций шире, чем класс элементарных функций (интегрирование – это переход от частного к общему – обобщение, а дифференцирование – это переход от общего к частному – уточнение).

Примеры.

Lix

Eix

e x

dx,

Six

sin x

dx,

Cix

cos x

ln x

многие другие интегралы. Для них составляются специальные таблицы, которые можно найти в различных учебниках и справочниках.

Лекция 5. Определенный интеграл.

Задача о площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию, образованную отрезком a,b оси OX (основание трапеции), прямыми x a, x b (на них лежат боковые

стороны трапеции) и графиком функции y f x . Так как график функции – кривая линия, то такая трапеция называется криволинейноqй.

Xi-1

Устроим разбиение отрезка a,b точками

a x0 , x1 , x2 ,... xi 1 ,

xi ,... xn

b .

Обозначим

xi 1 . На

каждом отрезке

xi 1 , xi отметим

точку

i .

Вычислим

f i . Обозначим S i - площадь части криволинейной трапеции над

отрезком xi 1 , xi

, S – площадь всей криволинейной трапеции. Тогда

f xi 1 xi Si

f i xi f xi Si ,

f xi 1 xi S f i

xi xi

i 1

Пусть

функция

f x непрерывна на

каждом

отрезке xi 1 , xi

По

второй

теореме Вейерштрасса выполняется неравенство

mi f i M i , где

mi , M i -

нижняя и верхняя грани функции на отрезке xi 1 , xi . Тогда

mi xi Si

f i xi

M i Si ,

mi xi

S f i xi M i xi

i 1

Сумма

f i xi

называется интегральной суммой, суммы

s mi xi ,

i 1

S M i xi называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу.

i 1

Будем измельчать разбиение так, чтобы max xi 0 . Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он

называется определенным интегралом				(по	Риману) от функции f x	по
отрезку a,b :			n	b
	lim max	xi	o f i xi	f x dx .
	lim max	xi	o f i xi	f x dx .
			i 1	a
Если существуют пределы нижней и верхней сумм Дарбу при
неограниченном	измельчении разбиения, то				они называются нижним	I * и

верхним I * интегралами Дарбу.

Критерий существования определенного интеграла. Для того, чтобы

существовал определенный интеграл по Риману f x dx , необходимо и

достаточно, чтобы существовали и были равны нижний и верхний интегралы Дарбу.

Следствие. Если определенный интеграл существует как предел

интегральных сумм, то он не зависит
- от	выбора	разбиения,		лишь	бы
a,b xi 1 , xi , S x j 1 , x j		xi 1 , xi	0 .

-от выбора отмеченных точек i на элементах разбиения

-от способа измельчения разбиения, лишь бы max xi 0 .

Поэтому (критерий Римана) для интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы существовало некоторое

конкретное разбиение отрезка, на котором S s для любого 0.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема. Если функция кусочно непрерывна на отрезке (имеет на нем не более конечного числа разрывов первого рода), то она интегрируема на этом отрезке.

Мы пришли к определенному интегралу от задачи о площади криволинейной трапеции. Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то

определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

К понятию интеграла можно придти и от других задач. Например, от задачи о работе переменной по величине силы, не меняющей направления на прямолинейном пути, от задачи о массе отрезка, плотность которого меняется от точки к точке, от задачи о пути тела, движущегося прямолинейно с переменной скоростью. Фактически, все эти задачи формально сводятся к задаче о площади криволинейной трапеции. В задаче о работе силы по оси ординат откладываются значения скалярного произведения вектора силы в данной точке x отрезка на орт оси OX. В задаче о массе отрезка по оси ординат откладываются значения переменной плотности. В задаче о пути, пройденном телом, по оси ординат откладывается величина скорости тела в данной точке.

К схеме определенного интеграла сводится любая задача вычисления некоторой величины, аддитивно зависящей от множества, т.е. величины I,

удовлетворяющей соотношению I A B I A I B , где А, В – отрезки оси

OX (в общем случае определенного интеграла по некоторому множеству А, В – некоторые множества). В качестве таких величин можно выбрать длину отрезка,

длину кривой, площадь поверхности, объем пространственного тела, массу указанных множеств и т.д.

Свойства определенного интеграла.

1. Свойства линейности

а) суперпозиции f x g x dx f x dx g x dx ,

б) однородности f x dx f x dx

Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)

2. Свойство аддитивности (по множеству)

b	c	b
f x dx	f x dx f x dx
a	a	c
Доказательство.		Пусть c a, b .		Выберем разбиение так, чтобы точка с
была границей	элемента разбиения			(c xk 1 ) .	Это возможно	(следствие).
		n		k	n
Составим интегральную сумму f			i xi f i xi f i			xi . Будем
		i 1		i 1	i k 1

измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это

возможно (следствие). Тогда предел при			max	xi	0 левой части равенства
возможно (следствие). Тогда предел при			max	xi	0 левой части равенства
	b				c
интегральных сумм равен f		x dx , первого слагаемого правой части f x dx ,
	a				a
		b
второго слагаемого правой части f x dx .
		c
b	a
3. f x dx f x dx (свойство «ориентируемости» множества).
a	b

Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет

f i

( xi ) -

. Переходя к пределу при измельчении разбиения,

i 1

получим f x dx f x dx .

f x dx 0 . Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.

c dx b a .

0 x1 x2

... xn c lim max

0 x1 x0 x2 x1 x3 x2 ...xn

cdx c lim max

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.09.2019967.78 Кб7матан. экзамен.docx
#
10.02.2015335.12 Кб31МатАн.pdf
#
23.11.20192.67 Mб23Матем. методы в инж. деятельности.doc
#
24.12.20182.5 Mб48Матем.анализ 3 семестр.doc
#
07.05.2019131.07 Кб5Математика в различных сферах жизнедеятельности...doc
#
24.05.20152.05 Mб23Математический_анализ_2_семестр.pdf
#
23.03.20168.66 Mб51Материаловедение.djvu
#
23.12.2018751.62 Кб16материаловедение.doc
#
23.03.201610.38 Mб67материалы к лаб 7.docx
#
10.02.2015565.34 Кб1817маткад учебник.pdf
#
21.09.20191.23 Mб46матмод-ответы вер.0.91.docx

X5\| 3=A+B+M
X4\| 1=A-B+N
X3\| 7=2A+2B+P
X2\| 2=2A-2B+Q	Решение системы A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.
X \|2=A+B-N-P