Математический_анализ_2_семестр

c xn x0 c b a .

bb

9.f z dz f x dx (переменная интегрирования – «немая» переменная,

aa

ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла) Определенный интеграл является функцией своих пределов, при

фиксированных пределах интегрирования это – число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным.

Теорема об оценке определенного интеграла.

Пусть на отрезке a,b m f x M и функция f x интегрируема на отрезке. Тогда

b

m b a f x dx M b a

a

Доказательство. Интегрируя по свойству 7 неравенство m f x M , с учетом свойства 5 получаем требуемое утверждение.

Теорема об оценке полезна, когда интеграл вычислить трудно или вообще невозможно, но приблизительно оценить его необходимо. Это часто встречается в инженерной практике.

21

точную оценку можно получить, применяя методы численного интегрирования.

Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о

криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой f c .

Лекция 6. Формула Ньютона – Лейбница.

Интеграл с переменным верхним пределом.

Определенный интеграл представляет собой функцию пределов интегрирования. Это ясно даже из геометрической интерпретации интеграла как площади криволинейной трапеции. Изменяя пределы интегрирования, мы изменяем основание трапеции, изменяя тем самым ее площадь.

Рассмотрим интеграл как функцию верхнего предела интегрирования –

x

интеграл с переменным верхним пределом J x f x dx . Переменная

a

интегрирования по свойству 9 определенного интеграла – «немая переменная», ее можно заменить z или t или каклибо еще. Никакого отношения к верхнему пределу интегрирования она не имеет.

Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу

(основная теорема математического анализа)

22

lim x 0 f c f x .

Формула Ньютона – Лейбница.

Формула Ньютона – Лейбница - это одна из немногих формул - связок, связывающих различные разделы математики воедино. Если бы не было формулы Ньютона – Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментом исследования процессов. Любой процесс описывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а они решаются в интегралах.

Мы встречались с такими формулами или теоремами – связками. Например, теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой связывает бесконечно малые и пределы. Теорема Ферма и ее следствия – теоремы о средних значениях связывают дифференциальное исчисление и теорию экстремума. В дальнейшем мы тоже будем встречаться с теоремами – связками, они всегда играют фундаментальную роль, например теоремы Остроградского – Гаусса и Стокса в векторном анализе.

Методы вычисления определенного интеграла.

23

Методы вычисления остаются теми же, что и методы вычисления неопределенного интеграла, но разница есть. В неопределенном интеграле, делая замену переменной, надо затем возвратиться к исходной функции, в определенном интеграле этого делать не нужно, при замене пересчитываются и пределы интегрирования для новой переменной. Определенный интеграл при постоянных пределах интегрирования – число и все равно, в каких переменных считать это число. Но требование взаимной однозначности функции – замены и в определенном интеграле сохраняется, просто оно маскируется условиями теоремы о замены переменной.

Метод замены переменной.

Пусть

t tgx

Метод интегрирования по частям.

Пусть функции u x , u x , v x , v x непрерывны на a,b . Тогда

Доказательство остается тем же, что для неопределенного интеграла, только интегрирование проводится в пределах от a до b.

Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат.

24

Интегрирование периодических функций на отрезке длины, кратной периоду.

Два свойства периодических функций.

1)Если f x - периодическая функция с периодом T, то f x -

периодическая функция с периодом T .

Поэтому интеграл от периодической функции на отрезке, длиной равной периоду, можно вычислять на любом таком отрезке, результат будет тем же самым.

Когда встречаются интегралы от синусов и косинусов на отрезке длины, кратной периоду, то такие интегралы вычислять не стоит, они равны нулю.

Лекции 7, 8 Несобственные интегралы.

Мы строили определенный интеграл по отрезку a, b , где a, b - конечные

числа, т.е. по конечному промежутку числовой оси.

Кроме того, предполагалось, что подинтегральная функция непрерывна на отрезке или имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода.

25

Если снимается хотя бы одно из этих условий, то понятие интеграла надо обобщать, вводя в прежней конструкции интеграла предельный переход и получая так называемые несобственные интегралы. Если снимается первое условие, то мы имеем несобственный интеграл первого рода, если снимается второе условие, то мы имеем несобственный интеграл второго рода.

Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода).

Пусть отрезок a,b числовой оси неограничен. Это возможно в трех случаях: , b , a, , , . Определим несобственные интегралы как пределы

равенства называется главным значением несобственного интеграла.

Если эти пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися. Если предел не существует или бесконечен, то такой несобственный интеграл называется расходящимся.

Если сходятся интегралы от функций f x , g x , то сходятся интегралы от функций f x , f x g x . Это следует из теорем о пределах.

при n 1, расходится при n 1.

26

Признаки сравнения несобственных интегралов (достаточные признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов).

положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b.

a

верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция b имеет предел

доказанному и f x dx сходится, противоречие. Теорема доказана.

a

Вообще-то, все было ясно из геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции. Если значения одной функции больше, чем значения другой функции, то и соответствующая криволинейная трапеция имеет большую площадь. И если эта площадь конечна, то и меньшая площадь конечна. А если меньшая площадь бесконечна, то и большая площадь бесконечна. Но строгое доказательство не подведет, а «очевидное» иногда подводит.

27