Математический_анализ_2_семестр

c1 c2 f x, y hc2 f x' x, y a2 f y' x, y f x, y b21 ...

Сравним с приведенной выше основной расчетной формулой

то получим явный m – шаговый (m – точечный) метод Рунге – Кутта.

Наиболее распространен явный четырехточечный метод Рунге – Кутта yn 1 yn h6 k1 2k2 2k3 k4

Вявных методах Рунге – Кутта значения k r вычисляются только по предыдущим значениям k1 , ...kr 1 .

Внеявных методах Рунге – Кутта значения k r вычисляются как по предыдущим k1 , ...kr 1 , так и по последующим значениям kr 1 , ...km . Поэтому в

этих методах приходится еще решать систему уравнений относительно k r .

101

3. Методы Адамса.

Идея методов Адамса – использовать не промежуточные вычисления значений правой части дифференциального уравнения внутри отрезка xn , xn 1 ,

а значения правой части на предыдущих шагах (сделать метод методом «с памятью»).

x

интерполяционным полиномом Ньютона P x .

Явные методы Адамса (Адамса – Башфорта).

Возьмем x xn h , но интеграл будем брать по предыдущему отрезкуxn 1 , xn . Тогда

Получен явный метод Адамса – Башфорта второго порядка (двухшаговый) yn 1 yn h2 3 fn fn 1 .

Более точен метод Адамса – Башфорта четвертого порядка: yn 1 yn 24h 55 fn 59 fn 1 37 fn 2 9 fn 3

Заметим, если y0 задано (в задаче Коши начальное условие задается), то для того, чтобы начал работать метод Адамса 4 порядка, нужно вычислить еще значения (каким-либо другим методом) y1 , y2 , y3 . Тогда из системы формул Адамса Башфорта, выписанных для y1 , y2 , y3 , y4 , вычисляются значения правых частей f0 , f1 , f 2 , f3 , необходимые для того, чтобы метод начал работать. Затем уже по этим значениям по формуле метода определяются y5, ... .

Эта процедура называется «разгоном метода» и является обязательной в методах Адамса.

Неявные методы Адамса (Адамса – Мултона).

Возьмем x xn h , интеграл будем брать по отрезку xn , xn 1 . Тогда

102

Подставляя эти разности, получим

k

yn 1 yn h kr f n r (k – шаговый явный метод Адамса –Мултона)

r 0

Формально он записан в том же виде, что и метод Адамса – Башфорта, но разница существенна: в методе Адамса – Мултона в левой части уравнения присутствует yn 1 , а в правой части присутствует f n 1 . Поэтому приходится еще

решать систему уравнений для явного определения yn 1 .

Есть методы, сочетающие явные и неявные этапы – методы. Таковы, например, методы типа предиктор – корректор (предиктор P – предсказатель – явный метод, корректор С – неявный метод). Эти методы содержат обычно и этапы вычисления функции Е. Распространены методы РЕСЕ и РЕС.

Рассмотрим в качестве метода Р метод Адамса – Башфорта 2 го порядка, а в качестве метода С – метод Адамса – Мултона 2 го порядка.

Схема метода может быть записана в виде.

Еf n 1 f xn 1 , yn 1

Метод Р «предсказывает», прогнозирует yn 1 , вычисляется значение правой части, которое используется в методе С – «корректоре» для коррекции приближения yn 1 , затем вычисляется более точное значение правой части, которое вновь используется в методе Р.

103

Сходимость, устойчивость разностных схем, порядок точности методов.

Вообще-то это – тема отдельного курса, но нельзя говорить о методах решения дифференциальных уравнений и не сказать хотя бы несколько слов о сходимости численных алгоритмов, устойчивости вычислительных схем и

Разностная схема отличается от дифференциального уравнения тем, что функции заменены сеточными, производные заменены их аппроксимациями.

следовательно, схема Эйлера дает аппроксимацию первого порядка.

104

Замечание. Ошибку аппроксимации можно оценить по правилу Рунге,