Математический_анализ_2_семестр

Понижение порядка дифференциальных уравнений.

Мы умеем аналитически решать всего пять типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. Причем однородные, линейные и Бернулли тоже сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Даже решить уравнение второго порядка, не говоря уж об уравнении n-го порядка – проблема. Поэтому стараются понизить порядок дифференциального уравнения, если это возможно, чтобы свести его к известным типам уравнений первого порядка.

Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядка зависит только от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение.

Но это – очевидный случай. Рассмотрим менее очевидные случаи.

Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

y f y,y .

51

3)Уравнения, обе части которых являются полными производными каких-либо функций.

Существуют еще несколько случаев, которые встречаются реже и здесь не рассматриваются.

52

Лекции 15–16. Линейные дифференциальные уравнения n –ого порядка с переменными коэффициентами.

Линейное однородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с

переменными коэффициентами может быть записано в виде a0 x y n a1 x y n 1 ... an 1 x y an x y 0

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде

Пользуясь линейностью оператора, легко доказать теоремы о свойствах решений однородного и неоднородного уравнений (ниже обозначено yo -

решение однородного уравнения, yн - решение неоднородного уравнения).

Теоремы о свойствах решений.

1)сумма или разность решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения,

2)разность решений неоднородного уравнения есть решение однородного уравнения,

3)сумма решений однородного и неоднородного уравнений есть решение неоднородного уравнения.

Теорема. Решения линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами образуют линейное пространство.

Доказательство. Так как сумма любых двух решений однородного уравнения и произведение любого решения на число вновь есть решения однородного уравнения, то операции сложения и умножения на число на множестве решений определены корректно (не выводят за множество решений).

Решения образуют аддитивную группу по сложению (абелев модуль). В самом деле, ассоциативность по сложению очевидна, y 0 (тривиальное решение) является решением однородного уравнения, для каждого решения

53

y x противоположное решение y x тоже является решением.

Следовательно, решения однородного уравнения – группа по сложению. Аддитивность решений очевидна, поэтому эта группа аддитивна. Справедливость четырех аксиом из восьми показана. Существует число «1», такое что 1 y x - решение, справедлива ассоциативность по умножению на

число y y . Это – две аксиомы относительно операции умножения на число. Наконец, справедливы две аксиомы дистрибутивности, связывающие

линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации

существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) 1 ,... n ,

линейная комбинация функций, тождественно равная нулю).

Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).

Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.

Определитель Вронского.

Определитель Вронского для функций вводится как

определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

Теорема. Если функции y1 x , y2 x ,... yn x линейно зависимы, то W x 0

Доказательство. Так как функции y1 x , y2 x ,... yn x линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,

y1 x 2 y2 x ... n yn x . Тождество можно дифференцировать, поэтому

54

определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы W x 0 .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы. Достаточность. Зафиксируем некоторую точку x0 . Так как W x0 0 , то

столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

решений с теми же коэффициентами. ЗаметШм

55

что при x x0 это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это

следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым

начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Если W x0 0 , то решения линейно

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно W x 0 (или W x0 0 ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно

W x0 0 .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше

независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.

Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n-ого порядка равна n.

Доказательство.

1. Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения y1 x , y2 x ,... yn x , удовлетворяющие следующим начальным

условиям:

y1 x0 1, y2 x0 0,... yn x0 0,

y1 x0 0, y2 x0 1,...yn x0 0,

...........................................................

y1 n 1 x0 0, y2 n 1 x0 0,...yn n 1 x0 1,

56

Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через точку x0 , y0, y0 , y0 ,...ynn 1 проходит единственная интегральная кривая –

2. Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной

Таким, образом, существует n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка, и произвольное решение линейно выражается через эти решения . Поэтому размерность пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка равна n. dim I n .

Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка представляют собой базис пространства решений или фундаментальную систему решений.

Теорема о структуре общего решения однородного уравнения.

Общее решение линейного однородного уравнения есть линейная комбинация решений фундаментальной системы.

yoo x C1 y1 x ... Cn yn x .

Доказательство. Покажем, что линейная комбинация

57

yoo x C1 y1 x ... Cn yn x является общим решениям (удовлетворяет

Это – система линейных алгебраических уравнений относительно констант C1 ,...Cn . Определитель этой системы – определитель Вронского.

Он не равен нулю, так как решения y1 x ,... yn x линейно независимы. Поэтому константы C1 ,...Cn определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом.

Следовательно, yoo x C1 y1 x ... Cn yn x - общее решение.

Замечание. Определитель Вронского (как всякий определитель) представляет собой ориентированный n – мерный объем, натянутый на векторы решений фундаментальной системы решений.

Формула Остроградского – Лиувилля.

Рассмотрим линейное однородное уравнение a0 x y n a1 x y n 1 ... an 1 x y an x y 0 .

Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского – Лиувилля

58