Математический_анализ_2_семестр

е) 1 0,

2 0

Точка покоя - вырожденный узел,

при

1 0

устойчивая, но

не асимптотически устойчивая.

Если

1 0 , то точка покоя

- неустойчивая

(стрелки направлены в обратную сторону)

ж)

1 0, 2 0 .

Точка

безразличного равновесия. При изменении

x t

остается на месте.

Этими точками

времени любая точка

C 1 C 2

1

2

y t

заполнена вся плоскость.

2. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

1,2

i

x

e t C u cos t

v sin t C

2

u sin t v cos t

1

y

устойчива.

а)

б)

в)

A E

2 2 1 ,

1

1,2

1)

0

а)

1,

1 0, 2

0 седло,

б)

1,

1

0, 2

0

неустойчивый узел

в)

1,

1

2, 2

0

вырожденный узел

2)

0

1,2 - комплексно сопряженные.

Запишем уравнение автономной системы третьего порядка

x

Ax

x

y

C1e 1t 1

C2 e 2t 2

C3e 3t 3 .

z

а) 1 0, 2 0, 3 0

В плоскостях 1 , 2 ,

1 , 3 ,

2 , 3 , имеем устойчивые узлы. Такая

точка покоя так и называется – устойчивый узел.

,

,

, имеем

б)

0,

0,

0

В плоскостях

2

3

1

, 2

1

, 3

2

, 3

1

а)

б)

Пусть, например,

0,

0,

0

. Тогда в плоскости

имеем

2

3

1 , 2

1

3 ,

неустойчивый

узел,

а

в

плоскостях

-

седла.

Если

1

,

2 , 3

0,

0,

0 ,

то в плоскости

имеем

устойчивый узел, а в

2

3

1

, 2

1

- седла.

плоскостях 1 , 3 ,

2 ,

3

1 0, 2 0, 3 0 .

1 0, 2 0, 3 0

2)

3 - действительный

корень характеристического уравнения,

1,2

i - комплексно сопряженная пара корней.

Заметим, что при изменении номера корней ситуация будет аналогичной.

В плоскости

1 , 2 имеем фокус, устойчивый при 0 , неустойчивый

при 0 .

а) 3

0 0 . Такая точка покоя называется устойчивый фокус.

б) 3

0 0 . Такая точка покоя называется неустойчивый фокус.

3 0 0

3 0 0

в)

3 0 0 или 3 0 0 . Такая особая точка называется седло –

фокус и является неустойчивой.

В первом случае по оси 3 точка по траектории приближается к плоскости

и уходит от начала координат, так как на самой плоскости имеем

1

, 2

имеем устойчивый фокус,

Во втором случае на плоскости

1

, 2

3 0 0

3 0 0

x

1

Рассмотрим автономную систему x

f

x

, x

... и

функцию V x1 ,... xn .

xn

Назовем эту функцию знакоположительной, если V x1 ,... xn 0 ,

знакоотрицательной, если V x1 ,... xn 0

Назовем функцию V x1 ,... xn положительно определенной, если

1)

она знакоположительна,

2)

V x1 ,... xn 0 x1

0,... xn

0

Назовем функцию V x1 ,... xn отрицательно определенной, если

1)

она знакоотрицательна,

2)

V x1 ,... xn 0 x1

0,... xn

0

Назовем функцию

V

x1 ,... xn

знакоопределенной, если она является

отрицательно определенной или положительно определенной.

Введем

производную

функции

V x1 ,... xn

в

силу

системы

x

f

x :

dV

n

V

f k . Заметим,

что

dV

gradV , f . Поэтому,

если

dV

0 ,

то угол

dt

k 1

xk

dt

dt

знакоотрицательную

dV

в некоторой окрестности точки

0 .

x

dt

Тогда тривиальное решение автономной системы

t 0

устойчиво по

x

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть

существует функция

V x1 ,... xn

, положительно определенная

и

имеющая

dV

0 .

отрицательно определенную

в некоторой окрестности точки x

dt

t 0 асимптотически

Тогда тривиальное решение автономной системы

x

устойчиво по Ляпунову.

Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть

V 0 0 .

Пусть

dV

dt

знакоопределена в

некоторой

окрестности точки

0 . Если

в любой

x

0 найдутся такие точки, в которых знаки

V x1 ,... xn и

окрестности точки x

Пример.

x

x y x3 y 2

y x y xy

Выберем V x 2 y 2

dV

V f

V f

2x x y x3 y 2 2 y x y xy

2x 2

1 x 2 2 y 2

1

2

dt

x

y

V положительно

определена,

dV

отрицательно определена.

Поэтому

dt

тривиальное решение асимптотически устойчиво.

Пример.

x y x3

x y 3

y

Выберем V x 2 y 2

dV

V f

V f

2x y x3 2 y x y3

2 x 4

y 4

1

2

dt

x

y

рассматривают равномерную сетку, разбивая отрезок a, b

на отрезки длины

шагом h: x

x

kh,

k 0, 1,...,n, a x

, b x

, n

b a

.

n

0

0

n

h

1.

Формулы прямоугольников.

Обозначим yk

f xk . Заменим интеграл интегральной суммой, вычисляя

площадь под графиком функции как сумму площадей прямоугольников с

основанием h, высотами yk .

Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как y0 ,

тогда на последнем отрезке высота прямоугольника

yn 1 .

Получим первую

формулу прямоугольников

b

x dx h y0

... yn 1 .

f

a

Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как y1 ,

тогда на последнем отрезке высота прямоугольника

yn .

Получим вторую

формулу прямоугольников

b

x dx h y1

... yn .

f

a

f x в ряд

Оценим погрешность формул прямоугольников. Разложим

Тейлора и оценим остаточный член.

Для первой формулы прямоугольников

b

n 1 x0 k 1 h

f

x dx

yn 1 Mh

n

h y0

... yn 1 M b a h,

yk y h dx h y0 ...

2

a

k 0

x0 kh

где M max a, b

f x .

Для второй формулы прямоугольников

b

n 1 x0 k 1 h

f

x dx

n

h y1

... yn M b a h,

yk 1 y h dx h y1 ... yn Mh

2

a

k 0

x0 kh

где M max a, b

f x .

Таким

образом,

погрешность

третьей формулы прямоугольников не

M 2

2

превышает

b a h ,

где

M 2 max a,b f

Эта

формула

24

x .

b

1

1

f x

dx h

y0 y1

... yn 1

yn

2

2

a

Поясним название формулы. Приблизим площадь под графиком функции

на отрезке kh, k 1 h

площадью трапеции

1

y

y

. Суммируя площади

k

k 1

2

по всему отрезку интегрирования, получим

b

1

f x

dx

y0

y1 y1

y2 y2

... yn 2

yn 1

yn 1 yn

2

a

1

y

... y

1

h

y

n 1

y

2

0

1

2

n

Аппроксимируем

функцию

f x на

отрезке

разбиения квадратичной

функцией f

q

ax2

bx c так, чтобы

f kh f q

kh , f

(k 1)h

f q (k 1)h ,

f k 2 h f q k 2 h , k 0, 2,...

v

ax

bx c dx

u v

u v

2

Лемма.

f

q

u 4 f

q

(

) f

q

v .

6

2

u

Докажем лемму для u kh, v (k 2)h . Сделаем замену z x (k 1)h .

Тогда формула сведется к следующей:

h

ax2 bx c dx

h

fq h 4 fq 0 fq h .

h

3

h

Левая часть

ax2

bx c dx

1

ax3

|h h

1

bx2 |hh

2ch

2

ah3 2ch

2

h

3

3

Правая часть

h

ah2 bh c 4c ah2 bh c

2

ah3

2ch . Лемма доказана.

3

3