2.3. Математические теоремы, их виды и логическая структура.

2.3.1. Теоремы прямая, противоположная, обратная. 2.3.2. Достаточность и необходимость ; существование и единственность. 2.3.3. Доказательство от противного; метод математической индукции. 2.3.4. Бином Ньютона.

2.3.1. Теоремы прямая, противоположная, обратная.

        Простейшая форма математической теоремы такова: ∀х ∈ Х (А(х) ⇒ В(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство B(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р₁, Р₂, Р₃, …} - множество точек плоскости. Тогда формулировка теоремы Пифагора будет такова:         {∀(P₁ ∈ П, P₂ ∈ П, P₃ ∈ П) ∠P₁P₂P₃ = π /2 ⇔ |P₁P₂|² + |P₂P₃|² = |P₁P₃|²}.         Исходя из утверждения ∀х ∈ Х (А(х) ⇒ В(х)), можно построить новые утверждения:         ∀х ∈ Х (B(х) ⇒ A(х)) (обратная теорема);         ∀х ∈ Х (А(х) ⇒ В(х)) (противоположная теорема);         ∀х ∈ Х (B(х) ⇒ A(х)) (теорема, противоположная обратной).         Сформулируем эти утверждения для теоремы Пифагора:         обратная теорема: {∀(P₁ ∈ П, P₂ ∈ П, P₃ ∈ П) |P₁P₂|² + |P₂P₃|² = |P₁P₃|² ⇔ ∠P₁P₂P₃ = π /2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне - прямой) - верное утверждение;         противоположная теорема: {∀(P₁ ∈ П, P₂ ∈ П, P₃ ∈ П) ∠P₁P₂P₃ ≠ π /2 ⇔ |P₁P₂|² + |P₂P₃|² ≠ |P₁P₃|²} (если какой-либо угол треугольника не прямой, то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон - верное утверждение (следствие теоремы косинусов));         теорема, противоположная обратной: {∀(P₁ ∈ П, P₂ ∈ П, P₃ ∈ П) |P₁P₂|² + |P₂P₃|² ≠ |P₁P₃|² ⇔ ∠P₁P₂P₃ ≠ π /2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне, не может быть прямым) - верное утверждение.

        Однако если верна прямая теорема, это не означает, что всегда будут верны все остальные. Рассмотрим утверждение: "если десятичная запись натурального числа заканчивается нулем, то это число делится на пять без остатка" . Обратная теорема ("если натуральное число делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа заканчивается нулем") - ложна (число х = 15 делится нацело на 5, но не оканчивается нулём). Противоположное утверждение "если десятичная запись натурального числа не заканчивается нулем, то это число не делится на пять без остатка" тоже ложно (опровергающий пример - х = 15). Утверждение, противоположное обратному: "если натуральное число не делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа не может заканчиваться нулем" - истинно. Докажем общее утверждение

        Теор. 2.3.1. Теоремы прямая и противоположная обратной, обратная и противоположная попарно либо обе истинны, либо обе ложны.         Док-во. Составим таблицу истинности для высказываний А, В и требуемых импликаций:

А	В	А	В	АÞВ	ВÞ А	ВÞА	АÞ В	Эта таблица является, по существу, подмножеством таблицы Свойства логических операций раздела 2.1. Высказывания и действия над ними. Из неё следуют
1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	1	1

следуют эквивалентности (A⇒B) ⇔ (B⇒A), (B⇒A) ⇔ (A⇒B), которые и требовалось доказать.