- •1. Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець
- •2. Кільця лишків за модулем m
- •3. Кільця поліномів
- •3.1. Поліноми над кільцями
- •3.2. Поліноми над полями
- •3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
- •4. Корені поліномів та їх властивості
- •5. Поля часток
- •Підполя. Прості поля. Характеристики полів
- •Розширення полів
- •Алгебраїчні розширення
- •9. Мінімальні поліноми
- •Прості розширення полів та їх побудова
- •Поля розкладу поліномів
- •12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
- •13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
- •14. Мультиплікативна група скінченного поля
- •Наслідки теореми 30.
- •15. Незвідні поліноми та їх корені
- •16. Спряжені елементи
- •17. Зображення елементів скінченних полів
- •18. Порядки поліномів
- •19. Примітивні поліноми
- •20. Сліди та норми
- •21. Базиси
- •22. Автоморфізми скінченних полів
- •23. Зведення основних положень та результатів
- •Предметний покажчик
- •Список використаної літератури
-
Поля розкладу поліномів
Нехай F – деяке поле, – його розширення. Говорять, що поліном повністю розкладається в полі , якщо його можна представити у вигляді , де , (тобто всі його корені лежать в ).
Розширення поля F називається полем розкладу полінома , якщо повністю розкладається в і є найменшим полем, що містить F і всі корені, тобто, , .
ТЕОРЕМА 27. Всі поля розкладу полінома ізоморфні, причому ізоморфізм залишає на місці елементи поля F () і деяким чином переставляє корені .
Поле розкладу полінома будується шляхом послідовного приєднання коренів незвідних поліномів, що є його простими дільниками (див. теор.9). При цьому використовується процедура, описана в доведенні теор.24. З того ж доведення ясно, що елементи при цьому залишаються на місці, а теор.26 гарантує незалежність результату від порядку вибору коренів.
Контрольні запитання до §11
-
Дати визначення поля розкладу полінома .
-
Сформулювати теорему про канонічний розклад полінома.
-
Сформулювати теорему про існування і єдиність поля розкладу полінома.
Задачі до §11
-
Довести: поле разкладу полінома над скінченним полем існує; єдине (з точністю до ізоморфізму), скінченне.
-
Скільки елементів в найменшому розширенні поля , яке містить всі корені многочленів х2+х+1 та х3+х+1 ?
-
Чи буде поле С простим розширенням поля R?
-
Чи буде поле R простим розширенням поля Q?
-
Чи буде поле С алгебраїчним розширенням R? Чи буде С скінченим розширенням R? Яка степінь цього розширення?
-
Яке поле розкладу полінома ?
-
Яке поле розкладу полінома ?
-
Яке поле розкладу полінома ?
12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
ТЕОРЕМА 28 (про існування та єдиність скінченних полів). Для будь-якого простого p і натурального n існує скінченне поле з елементів. Будь-яке поле з елементів ізоморфне полю розкладу полінома над полем .
Надалі часто позначатимемо через q.
Нехай F – поле розкладу полінома . Розглянемо множину коренів цього полінома . Доведемо, що S – поле. Нехай x, , тоді за наслідком теор.17:
-
;
-
.
Звідси легко випливає, що S – поле. Але оскільки F – мінімальне поле, що містить всі корені полінома , то S співпадає з F. Залишилося довести, що всі корені даного полінома різні (тобто поле містить рівно елементів). Розглянемо похідну даного полінома: . Оскільки , то над полем Fр не має коренів. Отже, за теор.13 всі корені прості і, таким чином, різні.
Доведемо єдиність. Нехай ‑ скінченне поле з елементами. Так як група ненульових елементів цього поля з операцією множення має порядок , то для будь-якого ненульового елемента виконується . Крім того, . Отже, всі елементи є коренями полінома , тобто будь-яке поле з елементів – це поле розкладу полінома з точністю до ізоморфізму. Єдиність поля з елементами випливає тепер з єдиності поля розкладу (теор.27).
З теор.28 випливає, що над полем , тобто всі елементи поля і тільки вони є коренями полінома . Інакше кажучи, . Уважний читач напевне помітив, що остання рівність у випадку простого поля () є не що інше, як мала теорема Ферма, відома з теорії чисел.