- •1. Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець
- •2. Кільця лишків за модулем m
- •3. Кільця поліномів
- •3.1. Поліноми над кільцями
- •3.2. Поліноми над полями
- •3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
- •4. Корені поліномів та їх властивості
- •5. Поля часток
- •Підполя. Прості поля. Характеристики полів
- •Розширення полів
- •Алгебраїчні розширення
- •9. Мінімальні поліноми
- •Прості розширення полів та їх побудова
- •Поля розкладу поліномів
- •12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
- •13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
- •14. Мультиплікативна група скінченного поля
- •Наслідки теореми 30.
- •15. Незвідні поліноми та їх корені
- •16. Спряжені елементи
- •17. Зображення елементів скінченних полів
- •18. Порядки поліномів
- •19. Примітивні поліноми
- •20. Сліди та норми
- •21. Базиси
- •22. Автоморфізми скінченних полів
- •23. Зведення основних положень та результатів
- •Предметний покажчик
- •Список використаної літератури
2. Кільця лишків за модулем m
Важливим прикладом фактор-кілець є кільця лишків за модулем , які будемо позначати . Елементами кільця є класи лишків – у один клас лишків входять всі цілі числа, що дають при діленні на один і той самий залишок . Інакше кажучи, два цілих числа і належать одному класу лишків тоді і тільки тоді, коли ділиться на . Отже, є не що інше, як фактор-кільце кільця цілих чисел за ідеалом чисел, кратних : . Операції над елементами – це операції над цілими числами за модулем. У термінах класів лишків їх можна визначити наступним чином:
-
додавання: ;
-
множення: .
Одиниця кільця – [1], нуль – [0], протилежний до елемент –=.
Так як операціїї додавання та множення чисел комутативні, то – комутативне кільце з одиницею, але, взагалі кажучи, не є полем, бо у кільці лишків за модулем не кожен ненульовий елемент має обернений.
Приклад.
Розглянемо кільце , що складається з класів лишків [0],[1],[2],[3],[4],[5]:
– необоротний; – не існує;
; – не існує;
– не існує (тобто 2 – .
необоротний елемент);
Якщо достатньо велике, то перебором знайти обернений елемент до даного оборотного елемента складно. Існує універсальний спосіб, який викладається нижче.
Як зазначено у п.1, Z є евклідовим кільцем, тобто в Z можливе ділення з лишком. Тому, використовуючи алгоритм Евкліда, можна знайти найбільший спільний дільник чисел і (позначимо його як:
. (1)
ТЕОРЕМА 1. Якщо , то можна представити у вигляді лінійної комбінації і : (причому один з коефіцієнтів – від’ємний).
4Виражаючи з передостанньої рівності в (1) через , а , в свою чергу, через і так продовжуючи, дійдемо до першої рівності, виразивши таким чином лінійно через і .3
Приклад.
Знайдемо та представимо його у вигляді лінійної комбінації цих чисел:
; . Тут .
За допомогою розглянутого розкладу (див. теор.1) можна знайти обернений елемент . Нехай – множина оборотних елементів кільця . Відомо, що є абелевою групою за множенням. Якщо і , то внаслідок теор.1
,
звідки , тобто або в інших позначеннях .
Надалі квадратні дужки в позначенні класів лишків випускатимемо, не забуваючи, проте, що, виконуючи операції за , ми маємо справу не просто з числами, а з класами лишків.
ТЕОРЕМА 2. Елемент кільця лишків оборотний тоді і тільки тоді, коли він взаємно простий з модулем.
Необхідність. Нехай існує обернений елемент . Від супротивного: припустимо, що . Тоді . – суперечність, оскільки ділиться на , а 1 – ні.
Достатність. Нехай . Тоді внаслідок теор.1 .
Наслідок теореми 2. є полем тоді і тільки тоді, коли – просте число.
Приклад.
Розглянемо кільце :
; ;
; .
У кожного ненульового елемента комутативного кільця з одиницею є обернений за множенням, отже, ‑ поле.
Контрольні питання до §2
-
З яких елементів складається кільце лишків Zп ? Як визначені операції в цьому кільці?
-
З яких елементів складається мультиплікативна група кільця Zп ?
Задачі до §2
-
Вказати всі оборотні елементи у кільцях: Z5, Z6, Z7 , Z10 . Знайти мультиплікативні порядки всіх оборотних елементів.
-
Довести, що для будь-якого п Zп * утворює абелеву групу відносно операції множення у кільці.
-
Знати НОД(а,b) та представити його у вигляді лінійної комбінації чисел а та b:
а) а=17, b=135;
b) а=113, b=217;
с) а=117, b=225.
4. Знайти а-1mod b для чисел а та b з завдання 3.