- •1. Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець
- •2. Кільця лишків за модулем m
- •3. Кільця поліномів
- •3.1. Поліноми над кільцями
- •3.2. Поліноми над полями
- •3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
- •4. Корені поліномів та їх властивості
- •5. Поля часток
- •Підполя. Прості поля. Характеристики полів
- •Розширення полів
- •Алгебраїчні розширення
- •9. Мінімальні поліноми
- •Прості розширення полів та їх побудова
- •Поля розкладу поліномів
- •12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
- •13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
- •14. Мультиплікативна група скінченного поля
- •Наслідки теореми 30.
- •15. Незвідні поліноми та їх корені
- •16. Спряжені елементи
- •17. Зображення елементів скінченних полів
- •18. Порядки поліномів
- •19. Примітивні поліноми
- •20. Сліди та норми
- •21. Базиси
- •22. Автоморфізми скінченних полів
- •23. Зведення основних положень та результатів
- •Предметний покажчик
- •Список використаної літератури
16. Спряжені елементи
Нехай . Елементи називаються спряженими з відносно поля .
Спряжені з відносно елементи будуть різними тоді і тільки тоді, коли степінь мінімального полінома елемента дорівнює . Якщо ж степінь мінімального полінома дорівнює d (), то різних спряжених елементів буде рівно d: , а далі вони повторюватимуться:, …, і таких повторень буде m/d.
ТЕОРЕМА 34. Елементи, спряжені з відносно довільного підполя, мають однаковий порядок у мультиплікативній групі .
Достатньо довести, що однаковий порядок мають элемент та q. Відомо, що в циклічній групі <a>(з твірним ) порядку порядок элемента аd дорівнює . (Дійсно, нехай , , d=d1s, причому Розглянемо послідовність ; вперше при kd кратному m, але в силу взаємної простоти і це вперше станеться при : . Таким чином, элемент d породжує циклічну підгрупу порядку =.) Нехай порядок элемента в дорівнює . Тоді порядок циклічної підгрупи <α> також дорівнює m і за теор. Лагранжа . Элемент q породжує в <α> підгрупу порядку . Але так як (, то і (m,q) = 1; отже, порядок , а таким чином і порядок q , дорівнює m , що і треба було довести.
Наслідки теореми 34.
-
Елементи, спряжені з примітивним, також є примітивними.
-
Нехай, – незвідний поліном. Тоді всі його корені мають однаковий порядок у мультиплікативній групі .
Приклад.
Нехай - корінь полінома над . Елементи, спряжені з відносно , – це , а відносно – це та ; всі вони є примітивними.
17. Зображення елементів скінченних полів
Якщо скінченне поле розглядати як фактор-кільце , де -незвідний поліном степеня над , то елементи можна збразити у вигляді поліномів над степеня меншого за n:
, ,
або у вигляді векторів:
, .
Еквівалентний спосіб зображення елементів скіченного поля випливає з теор.23: якщо - корінь незвідного над полінома степеня , то утворюють базис у полі і будь-який елемент зображується як лінійна комбінація .
Ці три зображення елементів скіченного поля по суті є одним й тим самим.
Інше зображення елементів скіченного поля – це зображеня у вигляді степенів деякого примітивного елемента .
Приклад.
Розглянемо поле = , де – незвідний над . Нехай – корінь полінома . Тоді 1, - базис над : , . Спробуємо зобразити всі елементи поля у вигляді степенів примітивного елемента. Спочатку знайдемо примітивний елемент. Розглянемо елемент : так як – корінь , то , звідки , тобто – не примітивний елемент (відповідно, - не примітивний поліном).
Розглянемо тепер елемент . Будемо підносити його у степені і результату співставляти вектор коефіцієнтів з :
(1, 0, 0, 0) |
|
|
(0, 1, 1, 1) |
|
(1, 0, 0, 1) |
|
(0, 1, 0, 0) |
|
(1, 1, 0, 0) |
|
(1, 0, 1, 1) |
|
(0, 0, 1, 0) |
|
(0, 1, 1, 0) |
|
(1, 0, 1, 0) |
Тобто – примітивний елемент. Звичайно, для того, щоб перевірити примітивність елемента не потрібно було підносити його до всіх степенів. Оскільки всі степені будь-якого ненульового елемента утворюють підгрупу мультиплікативної групи поля, то за теоремою Лагранжа порядок елемента повинен бути дільником порядку всієї групи, тобто дільником 15. Таким чином, для того, щоб перевірити, чи є елемент примітивним елементом поля, достатньо перевірити рівності та . Якщо жодна з цих рівностей не виконується, то - примітивний.
Проте складена нами таблиця степенів дозволяє в явному вигляді представити елементи поля через степені примітивного елемента .
Запис елементів скінченного поля у вигляді степенів примітивного елемента називається таблицею індексів. (Індекси – це показники відповідних степенів примітивного елемента).
Її зручно переписати в іншому вигляді:
Елемент |
Індекс |
Елемент |
Індекс |
|
15 |
(1, 0, 0, 1) |
8 |
(0, 0, 1, 0) |
12 |
(1, 0, 1, 0) |
14 |
|
1 |
(1, 0, 1, 1) |
11 |
(0, 1, 0, 0) |
9 |
(1, 1, 0, 0) |
10 |
|
2 |
5 |
|
(0, 1, 1, 0) |
13 |
4 |
|
(0, 1, 1, 1) |
7 |
3 |
|
(1, 0, 0, 0) |
6 |
|
|
За допомогою таблиці індексів зручно перемножати елементи скінченного поля. Наприклад, або
У загальному випадку множення у виконується за формулою:, де – примітивний елемент .