- •1. Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець
- •2. Кільця лишків за модулем m
- •3. Кільця поліномів
- •3.1. Поліноми над кільцями
- •3.2. Поліноми над полями
- •3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
- •4. Корені поліномів та їх властивості
- •5. Поля часток
- •Підполя. Прості поля. Характеристики полів
- •Розширення полів
- •Алгебраїчні розширення
- •9. Мінімальні поліноми
- •Прості розширення полів та їх побудова
- •Поля розкладу поліномів
- •12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
- •13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
- •14. Мультиплікативна група скінченного поля
- •Наслідки теореми 30.
- •15. Незвідні поліноми та їх корені
- •16. Спряжені елементи
- •17. Зображення елементів скінченних полів
- •18. Порядки поліномів
- •19. Примітивні поліноми
- •20. Сліди та норми
- •21. Базиси
- •22. Автоморфізми скінченних полів
- •23. Зведення основних положень та результатів
- •Предметний покажчик
- •Список використаної літератури
9. Мінімальні поліноми
Нехай – алгебраїчний над F елемент розширення , причому . Нескладно показати, що множина є ідеалом кільця , причому , так як – алгебраїчний елемент. Оскільки – кільце головних ідеалів, то , де g – нормований поліном над F найменшого степеня серед ненульових поліномів, що належать J. Доведемо незвідність g. Оскільки , то ,таким чином, .Припустимо, що поліном g – звідний. Тоді ; або або . Так як , то це входить у протиріччя з мінімальністю степеня у .
Поліном g, що породжує ідеал називається мінімальним поліномом елемента .
Вище був розглянутий випадок . Для мінімальним буде поліном .
Отже, кожний алгебраїчний елемент розширення має мінімальний поліном над F.
Степінь мінімального полінома елемента називається степенем цього елемента.
Вищенаведені міркування повністю доводять наступну теорему.
ТЕОРЕМА 22. Нехай – розширення поля F, елемент – алгебраїчний над F. Тоді має мінімальний поліном , причому:
-
g – незвідний поліном;
-
;
-
g є нормованим поліномом мінімального степеня, для якого є коренем.
ТЕОРЕМА 23. Нехай – розширення поля F, елемент – алгебраїчний над F, g – мінімальний поліном для , . Тоді:
-
;
-
– лінійний векторний простір над F розмірності n, і – його базис;
-
будь-який елемент є алгебраїчним над F, причому степінь ділить n.
1) Розглянемо відображення , визначене як
.
Тоді . Очевидно, що – гомоморфізм. За теоремою про гомоморфізм кілець . , тобто . Залишилося довести, що . Оскільки незвідний, то - поле, отже і - поле. входить в S, оскільки . Але оскільки F і входять в S, а F() – мінімальне поле, що містить F і , то .
2) Доведемо, що . Маємо:,, але за умовою, тому, де завжди можна представити у вигляді . Залишилося показати, що – лінійно незалежна система: , але , а - поліном найменшого степеня в . Отже, залишається лише одна можливість: , тобто .
3) Оскільки F(θ) – скінченне розширення (доведено в п.2), то воно алгебраїчне (див. теор.21). Отже, будь-який його елемент алгебраїчний над F (за означенням), тобто – алгебраїчний над F. За теор.20 .
Надалі, якщо не обумовлене протилежне, розглядатимемо тільки скінченні поля.
-
Прості розширення полів та їх побудова
До цього ми будували розширення поля F, приєднуючи до нього елементи деякого ширшого поля . Спробуємо тепер побудувати розширення F, не маючи ширшого поля. Необхідний результат дає наступна теорема.
ТЕОРЕМА 24. Нехай F[x] – кільце поліномів над полем F, – незвідний поліном. Тоді фактор-кільце ізоморфне деякому простому розширенню поля F.
За теор.10 – поле. Його елементами є класи лишків , . Операції на класах лишків вводяться звичайним способом:
, .
Розглянемо множину класів лишків виду , . Класи і при не перетинаються. Таким чином, кожному елементу поля можна співставити елемент поля , і це відображення є ізоморфізмом. Отже, елементи вигляду можна ототожнити з елементами , і дійсно є розширенням
Покажемо, що g має корінь в одержаному розширенні і цим коренем є елемент [x]. Згідно з введеними операціями на класах лишків
(елементи можна розглядати як елементи розширення ).
Кожен елемент , може бути представлений у вигляді
, і містить всі елементи такого виду. Але поле, одержане шляхом приєднання елемента , якраз і повинно складатися з усіх елементів такого виду. Отже, співпадає з простим алгебраїчним розширенням з точністю до ізоморфізму.
Тепер стає очевидною
ТЕОРЕМА 25. Для будь-якого незвідного полінома існує з точністю до ізоморфізму розширення поля F, в якому f має хоча б один корінь.
Теорема 24 є переформулюванням п.1 теор.23, але в ній не передбачається існування розширення і алгебраїчного над F елемента . Завдяки теор.24 можна розширювати скінченні поля, починаючи з простих, адже будова останніх нам відома – це не що інше, як кільця лишків за простим модулем Zp з операціями за модулем . Отже, з них можна будувати більш складні (розширені) скінченні поля, будуючи фактор-кільця так, як описано у п.3.3. Щоправда, для цього потрібно мати незвідний над F поліном. Існування незвідних поліномів будь-якого степеня над заданим скінченним полем буде доведено нижче (див. наслідок 4 з теор.30).
Приклад.
Розглянемо поліном над полем F5. В F5 він не має коренів. За теор.24 у фактор-кільці F5, яке через незвідність буде полем, поліном має корінь F5. Виходячи з того, що степінь кожного полінома, що представляє елемент поля F5, повинен бути меншим за степінь g(x) (представниками класів лишків є лишки від ділення на g), робимо висновок, що всі його елементи можна зобразити у вигляді .
Корінь можна позначати по-різному. Наприклад, враховуючи, що , можемо записати: . Введемо операції:
,
Таким чином одержуємо просте розширення F5 ().
ТЕОРЕМА 26. Нехай F – поле, – незвідний поліном, , – його корені. Тоді прості розширення і ізоморфні.
Це очевидно випливає з теор.24 і транзитивності відношення ізоморфності:
F[x]/(f).
Контрольні питання до §9,10
-
Дати визначення мінімального поліному, незвідного полніому.
-
Сформулювати теорему про властивості мінімального поліному.
-
Яке розширення поля називається простим?
Задачі до §9,10
-
Нехай К – підполе поля F, ΘF. Довести: , де g – мінімальний поліном елементу Θ.
-
Чи є справедливим твердження: є коренями одного й того ж незвідного поліному над К?
-
Довести, що - незвідний; побудувати таблиці операцій для простого розширення F2(Θ), де Θ – корінь вказанного поліному.
-
Нехай К – поле. Довести: f,gK[x] мають спільний корінь (з деякого розширення К) .
-
Довести: будь-яке поле характеристики р ізоморфне .
-
Довести: при поліном ділится на в .
-
Нехай F – скінченне поле. Довести: char F=ord e в адитивній групі цього поля.
-
Нехай . Чи є справедливим твердження: f – простий (f) – простий?
-
Нехай F – поле, . Довести: pa=0 pb=0, де p – просте число. Чи є справедливим дане твердження для кільця?
-
Довести: незвідний поліном не має кратних коренів.
-
Нехай F – скінчене поле, К F – підкільце. Довести: К – підполе.
-
Довести: якщо n – просте, то не має інших підполів, крім простого. Яке це підполе?
-
Нехай f, g K[x]. Довести: f, g мають спільний корінь хоча б один з них звідний.
-
Довести: незвідний над F2 t непарне.
-
Нехай . Який степінь мінімального поліному елемента над ?