- •1. Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець
- •2. Кільця лишків за модулем m
- •3. Кільця поліномів
- •3.1. Поліноми над кільцями
- •3.2. Поліноми над полями
- •3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
- •4. Корені поліномів та їх властивості
- •5. Поля часток
- •Підполя. Прості поля. Характеристики полів
- •Розширення полів
- •Алгебраїчні розширення
- •9. Мінімальні поліноми
- •Прості розширення полів та їх побудова
- •Поля розкладу поліномів
- •12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
- •13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
- •14. Мультиплікативна група скінченного поля
- •Наслідки теореми 30.
- •15. Незвідні поліноми та їх корені
- •16. Спряжені елементи
- •17. Зображення елементів скінченних полів
- •18. Порядки поліномів
- •19. Примітивні поліноми
- •20. Сліди та норми
- •21. Базиси
- •22. Автоморфізми скінченних полів
- •23. Зведення основних положень та результатів
- •Предметний покажчик
- •Список використаної літератури
3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
Кільця поліномів над полями мають багато cпільних рис з кільцем цілих чисел. Наприклад, і – комутативні кільця з одиницею без дільників нуля , тобто області цілісності. Більше того, і , і – евклідові кільця. Незвідні поліноми у відіграють ту саму роль, що і прості числа у . Зокрема, має місце аналог наслідку з теор. 2:
ТЕОРЕМА 10. Фактор-кільце є полем тоді і тільки тоді, коли – незвідний поліном над .
По аналогії з кільцями лишків , фактор-кільце складається з класів лишків за . Представниками цих класів є всі поліноми з степеня меншого за , де . Якщо , то їх кількість дорівнює . Операції додавання і множення у фактор-кільці зручно задавати за допомогою таблиць, які називаються таблицями Келі.
Приклади.
1) Фактор-кільце складається з 4-х класів лишків Таблиці Келі в цьому випадку виглядають таким чином:
+
|
[0] |
[1] |
[x] |
[x+1] |
[0] |
[0] |
[1] |
[x] |
[x+1] |
[1] |
[1] |
[0] |
[x+1] |
[x] |
[x] |
[x] |
[x+1] |
[0] |
[1] |
[x+1] |
[x+1] |
[x] |
[1] |
[0] |
.
|
[0] |
[1] |
[x] |
[x+1] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[1] |
[0] |
[1] |
[x] |
[x+1] |
[x] |
[0] |
[x] |
[x+1] |
[1] |
[x+1] |
[0] |
[x+1] |
[1] |
[x] |
З цих таблиць видно, що – поле ( у кожному рядку таблиці множення, окрім першго, є 1, тобто кожен елемент, окрім 0, має обернений). Втім, те, що це фактор-кільце є полем, випливає також з теор.10, оскільки поліном незвідний над .
2) складається з 32 = 9 елементів – класів лишків [0], [1], . Випишемо таблиці Келі для додавання і множення в (оскільки обидві операції в комутативні, то достатньо виписати лише елементи, що стоять на головній діагоналі і над нею).
+
|
[0] |
[1] |
[2] |
[x] |
[x+1] |
[x+2] |
[2x] |
[2x+1] |
[2x+2] |
||||||
[0] |
[0] |
[1] |
[2] |
[x] |
[x+1] |
[x+2] |
[2x] |
[2x+1] |
[2x+2] |
||||||
[1] |
|
[2] |
[0] |
[x+1] |
[x+2] |
[x] |
[2x+1] |
[2x+2] |
[2x] |
||||||
[2] |
|
|
[1] |
[x+2] |
[x] |
[x+1] |
[2x+2] |
[2x] |
[2x+1] |
||||||
[x] |
|
|
|
[2x] |
[2x+1] |
[2x+2] |
[0] |
[1] |
[2] |
||||||
[x+1] |
|
|
|
|
[2x+2] |
[2x] |
[1] |
[2] |
[0] |
||||||
[x+2] |
|
|
|
|
|
[2x+1] |
[2] |
[0] |
[1] |
||||||
[2x] |
|
|
|
|
|
|
[x] |
[x+1] |
[x+2] |
||||||
[2x+1] |
|
|
|
|
|
|
|
[x+2] |
[x] |
||||||
[2x+2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
[x+1] |
||||||
|
|||||||||||||||
.
|
[0] |
[1] |
[2] |
[x] |
[x+1] |
[x+2] |
[2x] |
[2x+1] |
[2x+2] |
||||||
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
||||||
[1] |
|
[1] |
[2] |
[x] |
[x+1] |
[x+2] |
[2x] |
[2x+1] |
[2x+2] |
||||||
[2] |
|
|
[1] |
[2x] |
[2x+2] |
[2x+1] |
[x] |
[x+2] |
[x+1] |
||||||
[x] |
|
|
|
[1] |
[x+1] |
[2x+1] |
[2] |
[x+2] |
[2x+2] |
||||||
[x+1] |
|
|
|
|
[2x+2] |
[0] |
[2x+2] |
[0] |
[x+1] |
||||||
[x+2] |
|
|
|
|
|
[x+2] |
[x+2] |
[2x+1] |
[0] |
||||||
[2x] |
|
|
|
|
|
|
[1] |
[2x+1] |
[x+1] |
||||||
[2x+1] |
|
|
|
|
|
|
|
[x+2] |
[0] |
||||||
[2x+2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
[2x+2] |
Фактор-кільце не є полем і навіть цілісним кільцем (з таблиці множення видно, що в ньому є дільники нуля), оскільки поліном звідний над .
Контрольні питання до §3
-
Дати визначення кільця поліномів. Як визначені операції у цьому кіьці?
-
Дати визначення незвідного поліному над полем.
-
Дати визначення НОД та НОК поліномів над полем.
Задачі до §3
1. Довести:
а) степінь суми поліномів не перевищує максимальної з степенів поліномів, що додаються;
б) степінь добутку поліномів не перевищує суми степенів співмножників;
в) в цілісному кільці степінь добутку поліномів дорівнює сумі степенів співмножників.
2. Довести:
а) R комутативне R[X] комутативне;
б) R кільце з одиницею R[X] кільце з одиницею;
в) R цілісне кільце R[X] цілісне кільце.
3. Що таке оборотні елементи кільця F[X], де F – поле?
4. Знайти (f,g) над F3 і представити його у вигляді лінійної комбінації вказаних поліномів: .
5. Для поліномів f1,…,fп довести:
а) deg(НОД (f1,…,fп)) deg(НОД (f1,…,fm)) при mn;
б) (f1, f2, f3)= (f1, (f2, f3).
-
Нехай R – евклідове кільце, що не містить оборотних елементів, крім±1. Чи можна стверджувати, що R[X] – також евклідове кільце?
-
Використовуючи тотожності
, довести: .
-
Довести критерій незвідності поліномів 2го та 3го степеню:
Нехай F – поле, 2 або 3. Тоді f(x) незвідний тоді і тільки тоді коли f(x) не має коренів в F.