3. Кільця поліномів

3.1. Поліноми над кільцями

Нехай – кільце, – деякий символ, змінна.

 Поліномом над кільцем називається вираз виду

,

де елементи , називаються коефіцієнтами полінома, a₀ називається вільним членом полінома.

 Якщо замість символа у вираз для підставити елемент , то в можна обчислити елемент , який називається значенням полінома в точці .

 Якщо , то поліном називається нульовим.

Якщо поліном не нульовий, то існує таке, що

Число , що задовольняє цій умові, називається степенем полінома і позначається , називається старшим коефіцієнтом полінома . Степінь нульового полінома за означенням дорівнює .

 Говорять, що поліном рівний поліному і позначають цей факт як тоді і тільки тоді, коли їх відповідні коефіцієнти рівні.

Введемо операції додавання і множення на множині поліномів над кільцем . Нехай

, , і нехай для визначеності

Тоді вважаємо

(вважається, що при ), (2)

, де . (3)

ТЕОРЕМА 3. Множина поліномів над кільцем з введеними операціями додавання і множення утворює кільце з нульовим поліномом як нейтральним елементом за додаванням (нулем).

Це кільце позначають .

 Справедливість теор.3 випливає з того, що коефіцієнти поліномів належать кільцю. 

ТЕОРЕМА 4. (Про степені поліномів). Нехай . Тоді:

,

.

Якщо – область цілісності, то .

Якщо , то, очевидно, . Таким чином, є підкільцем .

Кільце успадковує багато властивостей кільця .

ТЕОРЕМА 5.

1. Якщо – кільце з одиницею, то – кільце з одиницею.

2. Якщо – комутативне кільце, то – теж комутативне.

3. Якщо – область цілісності, то – теж цілісне.

3.2. Поліноми над полями

Нехай – поле, – множина поліномів над .

 Поліном ділиться на поліном , якщо існує поліном такий, що = (цей факт будемо позначати як – “ ділить “).

Так само, як і у кільці , у можливе ділення з лишком.

ТЕОРЕМА 6. Множина поліномів над полем з операціями додавання та множення, визначеними рівностями (1), (2), утворює евклідове кільце, тобто – область цілісності і якщо , то існують поліноми такі, що, де .

Приклад.

Розглянемо приклад ділення з лишком поліномів з .

Тобто . Тут , (Нагадаємо, що операції над коефіцієнтами виконуються за mod 5).

 Поліном називається нормованим (зведеним, унітарним), якщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці.

 Нормований поліном називається найбільшим спільним дільником поліномів і , якщо , і .

ТЕОРЕМА 7. Нехай . Тоді існує єдиний нормований поліном, що є найбільшим спільним дільником поліномів, причому він може бути представлений у вигляді їх лінійної комбінації:

, .

 Нормований поліном називається найменшим спільним кратним поліномів і , якщо , і .

ТЕОРЕМА 8. Кільце поліномів є кільцем головних ідеалів, причому кожен ідеал цього кільця породжується нормованим поліномом.

 – область цілісності (за теор.5). Розглянемо довільний ненульовий ідеал . Він містить деякий поліном мінімального степеня. Нехай – коефіцієнт при старшому степені , тоді покладемо . Покажемо, що , тобто, ,.

Оскільки – евклідове кільце, то , , . Якщо, то і оскільки і - підкільце. З причини , де – ненульовий поліном мінімального степеня, що належить, маємо , тобто, , , отже, .

Якщо в ідеалі є ненульові константи, то, очевидно, рівний одиниці і .

 Поліном називається незвідним, якщо  або, .

Незвідний поліном не розкладається в добуток двох поліномів додатних степенів. Інакше: незвідний поліном ділиться тільки на себе і на константи (елементи поля ).

Звідність або незвідність полінома залежить від того, над яким полем він розглядається.

Приклади.

1. Поліном незвідний над полем раціональних чисел Q, але розкладається над полем дійсних чисел R :

.

2. Поліном незвідний над , але розкладається над :

.

ТЕОРЕМА 9 (про канонічний розклад). Будь-який поліном представляється у вигляді

,

де , , – нормовані незвідні поліноми, - натуральні числа.