- •1. Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець
- •2. Кільця лишків за модулем m
- •3. Кільця поліномів
- •3.1. Поліноми над кільцями
- •3.2. Поліноми над полями
- •3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
- •4. Корені поліномів та їх властивості
- •5. Поля часток
- •Підполя. Прості поля. Характеристики полів
- •Розширення полів
- •Алгебраїчні розширення
- •9. Мінімальні поліноми
- •Прості розширення полів та їх побудова
- •Поля розкладу поліномів
- •12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
- •13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
- •14. Мультиплікативна група скінченного поля
- •Наслідки теореми 30.
- •15. Незвідні поліноми та їх корені
- •16. Спряжені елементи
- •17. Зображення елементів скінченних полів
- •18. Порядки поліномів
- •19. Примітивні поліноми
- •20. Сліди та норми
- •21. Базиси
- •22. Автоморфізми скінченних полів
- •23. Зведення основних положень та результатів
- •Предметний покажчик
- •Список використаної літератури
13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
ТЕОРЕМА 29 (критерій підполя). Кожне підполе скінченного поля складається з елементів, де , і напаки: для кожного цілого , що ділить , існує підполе скінченного поля , яке складається з елементів.
.
Навпаки, нехай , тобто n=km для деякого натурального . Очевидно, що над будь-яким полем , тому pn-1= pkm-1 = (pm-1)( pm(k -1)+…+ рm+1) і, отже, pm-1 pn-1, тобто pn-1= s(pm-1). З цього факту аналогічно попередньому маємо
.
Поле ізоморфне полю розкладу полінома . Полем розкладу полінома є , але будь-який його корінь є одночасно і коренем полінома , тому .
Для будь-якого скінченного поля можна побудувати діаграму, в якій вказані всі його підполя та ієрархія їх включення одного в одне.
Приклад.
Побудуємо діаграму включення підполів поля .
Для кожного дільника числа 30 за теор.29 існує підполе порядку , і інших підполів не існує. Розглядаючи всі дільники 30, розташовуємо підполя в діаграмі так, щоб кожне поле було підполем всіх полів, розташованих вище за нього і пов'язаних з ним яким-небудь шляхом з рисок:
14. Мультиплікативна група скінченного поля
Множина ненульових елементів скінченного поля з операцією множення, заданою в полі, називається мультиплікативною групою поля і позначається .
З означення поля випливає, що ця група абелева.
ТЕОРЕМА 30. Мультиплікативна група скінченного поля циклічна.
Розглянемо скінченне поле . Нехай – розклад числа на прості множники. Поліном в має не більше, ніж коренів (теор.12). Так як , то у існує элемент, що не є коренем полінома . Позначимо його через ai: . Розглянемо элемент : порядок элемента bi ділить . Покажемо, що ord(bi) = , . З попереднього випливає, що ord(bi) = . Але . Доведемо, що элемент є твірним для циклічної групи , тобто має порядок Нехай це не так. Тоді ord(b) ord(b) ділить принаймні одне из чисел , наприклад, . Тоді 1 = . При , тобто ord(b1), але це неможливо, так як ord(b1) = .
Отже, b – твірний елемент циклічної групи .
Твірні елементи мультиплікативної групи поля називаються примітивними елементами поля.
Приклад.
F5*- мультиплікативна група поля F5. Її твірними елементами (примітивними елементами F5) є 2 і 3 (перевірити самостійно!).
Наслідки теореми 30.
Див. доведення теор.30.
-
Скінченне поле містить примітивних елементів (φ – функція Ейлера).
Якщо – примітивний елемент , то примітивними будуть також всі степені , де (, і тільки вони.
-
– примітивний елемент тоді і тільки тоді, коли для всіх , де – прості дільники числа .
-
Якщо Fr – скінченне розширення поля , то Fr є простим алгебраїчним розширенням і твірним елементом цього розширення може служити будь-який примітивний элемент Fr.
Нехай – примітивний елемент Fr. Оскільки , то , з іншого боку Fr складається з усіх степенів , тобто . Таким чином, .
-
Для будь-якого скінченного поля і будь-якого натурального n існує незвідний над поліном степеня n .
Нехай Fr – розширення поля , . За наслідком 3) , де – примітивний елемент Fr. Елемент алгебраїчний над (теор.21), і його мінімальний поліном g і є тим самим незвідним над поліномом, причому .