- •1. Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець
- •2. Кільця лишків за модулем m
- •3. Кільця поліномів
- •3.1. Поліноми над кільцями
- •3.2. Поліноми над полями
- •3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
- •4. Корені поліномів та їх властивості
- •5. Поля часток
- •Підполя. Прості поля. Характеристики полів
- •Розширення полів
- •Алгебраїчні розширення
- •9. Мінімальні поліноми
- •Прості розширення полів та їх побудова
- •Поля розкладу поліномів
- •12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
- •13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
- •14. Мультиплікативна група скінченного поля
- •Наслідки теореми 30.
- •15. Незвідні поліноми та їх корені
- •16. Спряжені елементи
- •17. Зображення елементів скінченних полів
- •18. Порядки поліномів
- •19. Примітивні поліноми
- •20. Сліди та норми
- •21. Базиси
- •22. Автоморфізми скінченних полів
- •23. Зведення основних положень та результатів
- •Предметний покажчик
- •Список використаної літератури
19. Примітивні поліноми
Поліном , називається примітивним, якщо він є мінімальним поліномом деякого примітивного елемента над Fq.
ТЕОРЕМА 41. Поліном,, є примітивним над тоді і тільки тоді, коли f – нормований, і .
Позначимо .
Якщо f примітивний, то він є мінімальним поліномом деякого примітивного елемента. Отже, f нормований, незвідний, , а його корені мають порядок . Таким чином, за теор. 36 і .
Навпаки: . Доведемо, що – незвідний. Від супротивного: нехай – звідний. Тоді або 1) , де – незвідний, натуральне, або 2) , де У випадку 1) має ділитися на (теор.38), але , а – протиріччя. У випадку 2) за теор. 39 – знову ж таки протиріччя з умовою. Таким чином, – незвідний і за насл. з теор.34 всі його корені – примітивні. Отже, – примітивний.
Зауважимо, що умова потрібна лише, щоб виключити випадок .
Теорема 41 дає ще одне визначення примітивного полінома:
Нормований незвідний поліном над , , називається примітивним, якщо .
ТЕОРЕМА 42. Кількість примітивних поліномів степеня над дорівнює , де - функція Ейлера.
Примітивні поліноми незвідні. Тому всі корені примітивних поліномів степеня лежать у (теор.33). За наслідком 1 теор.30 кількість примітивних елементів поля дорівнює . Оскільки кожен примітивний поліном степеня має рівно коренів і всі вони різні (теор.33) і примітивні (наслідки 1,2 теор.34), то кількість примітивних поліномів дорівнює .
Контролні питання до §16-19
-
Дати визначення спряжених елементів.
-
Назвіть способи зображення елементів скінченого поля.
-
Дати визначення порядку полінома. Сформулювати теореми, що дозволяють визначити порядок поліномів над скінченним полем.
-
Дати визначення примітивного поліному, незвідного поліному.
Скільки існує примітивних поліномів степеня п над заданим скінченим полем?
Задачі до §16-19
-
Знайти кількість незвідних поліномів степеню від 1 до 6 над .
-
Знайти всі незвідні поліноми степеню 2 та 3 над .
-
Знайти всі примітивні поліноми степеню 3 над і степеню 2 над .
-
Які з наступних поліномів є незвідними? Примітивними?
-
;
-
б) ;
в) ;
г) .
-
Довести: якщо l – просте, то кількість незвідних поліномів степені l над дорівнює
-
Довести: кількість примітивних поліномів степені п над дорівнює , де φ – функція Ойлера.
-
Подати всі елементи поля у вигляді степенів деякого примітивного елемента.
-
До трьох з елементів поля знайти обернені відносно множення та обернені відносно додавання.
-
Знайти порядок поліному над .
-
Нехай - прості корені поліному f. Довести:.
-
Нехай - незвідний. Довести: .
-
Довести: .
-
Знайти порядки всіх нормованих незвідних поліномів степені 3 над .
-
Нехай поліном f - з задачі 10. Знайти загальну формулу, що пов’язує порядки поліномів f та f в.
20. Сліди та норми
Нехай , ().
Слідом елемента над полем називається сума всіх елементів, спряжених з відносно поля :
.
Якщо – просте підполе (), то слід називається абсолютним і позначається:
.
Нехай – мінімальний поліном елемента (він завжди незвідний). Якщо deg f = n, то його коренями є α, αq, …,(теор.33). Якщо deg f =, то d повинно ділити n (див. теор. 23, п. 3)). Розглянемо поліном , . Він буде нормованим і мати вид
.
Його коренями є , кожен кратності . Враховуючи кратність, їх теж можна позначити як . Всі корені лежать в, тому в полі він розкладається в добуток:
Звідки, прирівнюючи коефіцієнти, одержуємо , що дорівнює сліду елемента над полем . Так як , можна зробити висновок, що слід елемента лежить в , тобто маємо відображення (див. рисунок).
Поліном називається характеристичним поліномом елемента .
ТЕОРЕМА 43 (властивості сліду). Нехай, . Тоді мають місце такі властивості:
-
Якщо, то .
.
-
Якщо, , то .
.
-
– сюр'єктивне лінійне відображення F на як лінійних векторних просторів.
Лінійність доведена в пп. 1), 2). Доведемо сюр'єктивність. Для цього достатньо показати, що , оскільки якщо пробігає всі елементи , то за властивістю 2) одержимо – теж пробігає всі елементи . Будь-який елемент такий, що , є коренем полінома . Але оскільки даний поліном має не більше, ніж коренів, а поле F містить елементів, то в ньому існують потрібні нам елементи: .
-
, де – степінь розширення F над .
так як .
-
.
Слід не тільки сам є лінійним відображенням – через нього виражаються всі лінійні відображення з у .
ТЕОРЕМА 44. Будь-яке лінійне відображення з у є відображенням , виду . При цьому , якщо .
Кожне відображення за теор. 43 є лінійним відображенням на . При цьому, якщо , то
для відповідним чином вибраного елемента . Тому та відмінні. Так як у елементів, то одержуємо різних лінійних відображень із у . З іншого боку, взявши деякий базис векторного простору над , ми можемо отримати будь-яке лінійне відображення у , відображаючи базисні елементи у довільні елементи поля Це можна зробити різними способами; отже, всі лінійні відображення у вичерпуються відображеннями , .
ТЕОРЕМА 45 (про транзитивність сліду). Нехай – башта розширень. Тоді (див. рисунок).
Нехай , . Оскільки , , ,то
Нормою елемента над полем називається добуток усіх елементів, спряжених з відносно поля :
.
Аналогічно сліду можна показати, що, де – вільний член характеристичного полінома елемента .
ТЕОРЕМА 46 (властивості норми).
-
.
-
– це відображення F на і F* на K*.
-
.
-
.
Читачу пропонується довести цю теорему в якості вправи.