6. Розширення полів

 Поле називається розширенням поля F, якщо .

Нехай . Розглянемо деяку множину елементів (n – не обов'язково скінченне).

 Найменше поле, що містить F і елементи , називається розширенням F, одержаним шляхом приєднання елементів , і позначається .

 Якщо розширення одержане приєднанням тільки одного елемента, то воно називається простим.

Приклад.

Поле комплексних чисел C є простим розширенням поля дійсних чисел R, яке одержане приєднанням одного елемента – уявної одиниці.

 Нехай F – поле. Якщо множина L є абелевою гупою з операцією додавання, визначена операція множення елементів (скалярів) на елементи (вектори), що не виводить за межі , і для будь-яких , , виконуються умови:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ,

то L називається лінійним векторним простором над F.

ТЕОРЕМА 18. Будь-яке розширення поля F є лінійним векторним простором над F.

Розширення, як і будь-яке поле, є абелевою групою за додаванням. Неважко також бачити, що умови 1) – 4) виконуються.

 Система елементів розширення ( – скінченна або нескінченна множина натуральних індексів), для якої виконується умова , , називається базисом над F.

 Якщо в розширенні поля F існує базис із скінченною кількістю елементів, то називається скінченним розширенням F.

 Розмірність як лінійного векторного простору над полем F називається степенем розширення і позначається .

Приклад.

[C : R ]=2, оскільки будь-яке комплексне число а + ib можна зобразити як двовимірний вектор (а,b), R . Базисом C над R є система елементів {1, i}.

Будь-яке скінченне поле F є скінченним розширенням свого простого підполя Z_p. Його елементи можна представити як вектори деякої розмірності n з компонентами з Z_p. Таким чином, справедливе наступне твердження.

ТЕОРЕМА 19. Будь-яке скінченне поле містить рⁿ елементів, де р – деяке просте, а n – натуральне числа. р є характеристикою, а n – степенем розширення поля F над простим підполем Z_p.

 Скінченні поля називають полями Галуа (Galois Fields) і позначають або , де рⁿ – кількість елементів поля.

 Кількість елементів поля називається його порядком.

Так, порядок дорівнює рⁿ.

 Тепер замість Z_p будемо використовувати позначення .

ТЕОРЕМА 20 (про “башту” розширень). Нехай – скінченне розширення поля а в свою чергу, – скінченне розширення поля (– так звана «башта» розширень ). Тоді

.

Нехай ,. У як лінійному векторному просторі над F існує базис , а в L над – базис . Одержуємо:, де . Доведемо, що – базис в L над F, що містить mn елементів, тобто :

.

Отже, – базис L як лінійного векторного простору над F. Таким чином, .

6. Алгебраїчні розширення

 Елемент називається алгебраїчним над F, якщо він є коренем деякого полінома з .

Приклад.

Уявна одиниця i C є алгебраїчним над R елементом, оскільки є коренем полінома х²+1 R [x]. Цей корінь не лежить в R, але лежить в його розширенні C .

 Розширення поля F називається алгебраїчним над F, якщо всі його елементи – алгебраїчні над F.

ТЕОРЕМА 21. Кожне скінченне розширення поля F є алгебраїчним над F.

Нехай , θ – довільний елемент . Система елементів 1, θ ,, як і кожна система з n+1 елемента, повинна бути лінійно залежною. За визначенням лінійної залежності існує ненульовий набір коефіцієнтів таких, що . А це і означає, що  є коренем деякого полінома над F.

Контрольні питання до §7,8

1. Дати визначення розширення поля, підполя.

2. Дати визначення алгебраїчного розширення поля,

3. Сформулювати теорему про кількість елементів поля.

4. Сформулювати теорему про башту розширень.

5. Як пов’язані скінченність розширення та його алгебраїчність?

Задачі до §7,8

1. Нехай F розширення К, - алгебраїчний над К. Довести: К(Θ) – скінченне розширення К.

2. * Довести, що розширення поля, отримані приєднанням до цього поля двох різних коренів незвідного поліному, ізоморфні.

3. Побудувати таблиці операцій для поля F₃(Θ), де Θ – корінь поліному . Довести, що 2(Θ)+2 також є коренем цього поліному.

4. *Нехай L – деяке розширення поля К. Довести: L – скінченне  L=K(Θ₁, Θ_n), де Θ_i - алгебраїчні над К, тобто L отримане з К приєднанням скінченної кількості алгебраїчних над К элементів.

5. * Нехай Θ – алгебраїчний над L, L – алгебраїчне розширення К. Довести: Θ – алгебраїчний над К. Іншими словами: якщо F – алгебраїчне розширення L, L – алгебраїчне розширення К, то F – алгебраїчне розширення К.

6. Нехай L – розширення К, [L:K]=p – просте число. Довести: якщо , то або F=L.