- •1. Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець
- •2. Кільця лишків за модулем m
- •3. Кільця поліномів
- •3.1. Поліноми над кільцями
- •3.2. Поліноми над полями
- •3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
- •4. Корені поліномів та їх властивості
- •5. Поля часток
- •Підполя. Прості поля. Характеристики полів
- •Розширення полів
- •Алгебраїчні розширення
- •9. Мінімальні поліноми
- •Прості розширення полів та їх побудова
- •Поля розкладу поліномів
- •12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
- •13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
- •14. Мультиплікативна група скінченного поля
- •Наслідки теореми 30.
- •15. Незвідні поліноми та їх корені
- •16. Спряжені елементи
- •17. Зображення елементів скінченних полів
- •18. Порядки поліномів
- •19. Примітивні поліноми
- •20. Сліди та норми
- •21. Базиси
- •22. Автоморфізми скінченних полів
- •23. Зведення основних положень та результатів
- •Предметний покажчик
- •Список використаної літератури
4. Корені поліномів та їх властивості
Нехай – поле, – деякий поліном. Якщо , то елемент є значенням полінома в .
Елемент такий, що, називається коренем полінома .
ТЕОРЕМА 11 (Безу). Елемент є коренем деякого полінома тоді і тільки тоді, коли .
Необхідність. Нехай . Тоді .
Достатність. Нехай – корінь . Внаслідок того, що – евклідове кільце, маємо: , причому . Але , тобто . Якщо , то . Але оскільки – корінь, то і .
називається коренем полінома f(x) кратності , якщо ділиться на , але не ділиться на .
Якщо кратність кореня дорівнює 1, то він називається простим.
ТЕОРЕМА 12. Поліном f(x) степеня n над полем F має не більше за n різних коренів у полі .
Нехай – корені полінома f(x) з кратностями відповідно. Тоді поліном f(x) можна представити у вигляді . Прирівняємо степені лівої і правої частин цієї рівності: , оскільки степені щонайменше дорівнюють 1. Таким чином, .
Поліном називається похідною полінома .
ТЕОРЕМА 13. а є кратним коренем полінома f(x) тоді і тільки тоді, коли а є коренем f(x) і одночасно.
Доведення: якщо, то
.
У зворотньому напрямку теорему пропонується довести самостійно.
Контрольні питання до §4
-
Дати визначення простого та кратного кореня поліному.
-
Сформулювати теорему Безу.
-
Сформулювати теорему про кількість коренів поліному у полі.
-
Довести теорему 13 у зворотньому напрямку.
Задачі до §4
-
Чи будуть незвідними поліноми:
а) ;
б)
в) ;
г);
д) ;
е) ?
2. Чи мають поліноми кратні корені:
a) ;
б) ;
в) ?
3. Нехай F – поле; f, g F[x]. Довести:
4. Нехай F – поле, f1,…fп F[x], fi=dgi, где d=(f1,…fп). Довести: (g1,…gп)=1.
5. Побудувати таблиці додавання та множення для факторкільця . Чи буде дане факторцільце полем? Чому?
6. Позначимо [x+1] – клас лишків у факторкільці , що містить елемент x+1. Знайти класи лишків в цьому факторкільці, які утворююють в ньому ідеал ([x+1]).
-
Нехай - поле. Довести:
К – підполе F
-
Довести: - незвідний. Побудувати таблиці додавання та множення у факторкільці . Чи буде дане факторкільце полем?
5. Поля часток
ТЕОРЕМА 14. Довільну область цілісності R можна вкласти в поле.
(Під словом «вкласти» розуміється, що всі елементи області цілісності є елементами поля і операції, визначені в полі і в кільці R, співпадають на ).
Розглянемо множину формальних часток , (тобто множину пар ). Будемо казати, що знаходиться у відношенні з , якщо , (нагадаємо, що в області цілісності операція множення комутативна). Доведемо, що відношення є відношенням еквівалентності:
-
Рефлексивність очевидна: , так як .
-
Симетричність: також очевидна.
-
Транзитивність:
Таким чином, вся множина формальних дробів розбивається на класи еквівалентності (якщо як приклад розглянути числові дроби виду , Z то в один клас еквівалентності об'єднуються всі дроби, що скорочуються до одного й того ж).
Тепер на множині класів еквівалентності введемо операції ():
-
Додавання: .
-
Множення: .
Нулем є клас дробів виду , , а одиницею – клас дробів виду , . Зворотним до буде клас . Елемент визначається як . Нескладно перевірити, що введені операції комутативні, асоціативні і пов'язані законом дистрибутивності. Отже, побудована структура є полем, що і треба було довести.
Поле, побудоване в доведенні теор. 14, називається полем часток.
Приклади.
-
Кільце цілих чисел вкладається в поле раціональних чисел.
-
Кільце поліномів над полем F вкладається в поле раціональних функцій .