§ 4.3. Параболоиды.

Характерный признак уравнения: содержит квадраты двух переменных с положительными множителями и первую степень третьей.

Особенности построения: осью симметрии поверхности является ось той переменной, которая входит в уравнение в первой степени.

Эллиптический параболоид.

а) а > 0, b > 0, сечением является эллипс, осью симметрии – ось Oz (смотри рисунок).

б) Если a = b, то получаем параболоид вращения, а сечением является окружность (т. е. вращение параболы вокруг оси).

в) а > 0, с > 0, сечением является эллипс, осью симметрии – ось Oу.

г) с > 0, b > 0, сечением является эллипс, осью симметрии – ось Oz.

д) а > 0, b > 0, сечением является эллипс, ось Oz (смотри рисунок).

Гиперболический параболоид

Характерный признак уравнения: содержит квадраты двух переменных с множителями противоположных знаков и первую степень третьей.

а > 0, b > 0, сечением является гипербола, ось симметрии Oz.

а) а > 0, b > 0, сечением является гипербола, ось симметрии Oz (смотри рисунок).

б) а > 0, b > 0, сечением является эллипс, ось Oz (смотри рисунок).

в) с > 0, a > 0, сечением является гипербола, ось симметрии Oу.

г) с > 0, b > 0, сечением является гипербола, ось симметрии Ox.

Таблица понятий и формул по теме

«Прямая и плоскость в пространстве»

№	Понятие	Содержание, формула
П л о с к о с т ь
1.	Нормальный вектор плоскости .	Ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости .
2.	Общее уравнение плоскости.	А х + В у + С z + D = 0, где – вектор нормали к плоскости.
3.	Угол между двумя плоскостями (угол между нормалями).	, где , – векторы нормалей к данным плоскостям.
4.	Условие перпендикулярности двух плоскостей (условие перпендикулярности векторов нормали).	А₁∙А₂ + В₁∙В₂ + С₁∙С₂ = 0.
5.	Условие параллельности двух плоскостей (условие коллинеарности нормальных векторов).	.
6.	Условие совпадения плоскостей.	.
7.	Уравнение плоскости в отрезках.	, где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскость от осей координат Ох, Оу, Oz соответственно.
8.	Уравнение плоскости проходящей через данную точку М₀ (х₀, у₀, z₀) перпендикулярно вектору .	А (х – х₀) + В (у – у₀) + С (z – z₀) = 0.
9.	Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М₁ (х₁, у₁, z₁), М₂ (х₂, у₂, z₂) и М₃ (х₃, у₃, z₃).
10.	Расстояние d от точки М₀ (х₀, у₀, z₀) до плоскости А∙х + В∙у + С∙z + D = 0.
П р я м а я
11.	Направляющий вектор прямой .	Ненулевой вектор, параллельный данной прямой или лежащий на ней .
12.	Общее уравнение прямой (пересечение двух плоскостей).
13.	Канонические уравнения прямой.	, где М₀ (х₀, у₀, z₀) – точка на прямой, – направляющий вектор прямой, х, у, z – текущие координате точек прямой.
14.	Угол между двумя прямыми (угол между направляющими векторами).	.
15.	Условие параллельности двух прямых (коллинеарность направляющих векторов).
16.	Условие перпендикулярности двух прямых (перпендикулярность направляющих векторов).	.
17.	Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁ (х₁, у₁, z₁), М₂ (х₂, у₂, z₂).
18.	Параметрические уравнения прямой.	.
П р я м а я и п л о с к о с т ь
19.	Угол между прямой и плоскостью А∙х + В∙у + С∙z + D = 0.	.
20.	Условие параллельности прямой и плоскости (перпендикулярность направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости).
21.	Условие перпендикулюрности прямой и плоскости (коллинеарность направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости).	.
22.	Условие принадлежности прямой плоскости.	Одновременное выполнение равенств
23.	Условие принадлежности двух прямых и одной плоскости.