Глава 6 ведение в анализ

§ 1. Функция одной переменной

Определение 1. Постоянной называется величина, сохраняющая одно и то же значение или вообще, или в данном процессе.

Определение 2. Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Определение 3. Величина у называется функцией (однозначной) от переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное вполне определенное значение величины у.

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, у иногда называют зависимой переменной. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Обозначают функцию у = f (x) или у (х).

Это определение впервые в общих чертах было сформулировано гениальным русским математиком Н. И. Лобачевским.

Определение 4. Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция у определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

Определение 5. Совокупность значений, которые может принимать данная функция у, называется областью изменения этой функции.

Определение 6. Графиком функции у = f (x) называется множество всех точек М (х, у) плоскости Оху, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.

Определение 7. Если функция у (х) задана в виде уравнения f (x, y) = 0, не разрешенного относительно у, то говорят, что функция задана неявно или в неявном виде.

Первое определение понятия функции, близкое к современному, дал в 1718 году швейцарский математик Бернулли (1667 – 1748), но в XVIII веке функция обычно отождествлялась с аналитической формулой. Современное общее понятие функции как закона зависимости впервые возникло у Эйлера в 1755 году, но утвердилось только в XIX веке.

Определение 8. Если функция имеет структуру у = f (U (x)), то ее называют сложной функцией, где U – называется промежуточным аргументом, а х – независимой переменной. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Определение 9. Функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке из области ее определения, если для любых x₁ < x₂ справедливо неравенство

f (x₁) < f (x₂) (f (x₁) > f (x₂)).

Промежутки возрастания, убывания называются промежутками монотонности.

Определение 10. Функция у (х) называется четной, если у (– х) = у (х), и нечетной, если у (– х) = – у (х). График четной функции симметричен относительно оси Оу; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

В случае если функция у (х) не является ни четной, ни нечетной, то говорят, что она общего вида.

Определение 11. Функция у (х) называется периодической, если существует положительное число T такое, что у (x + T) = у (x).

Определение 12. Нулями или корнями функции называют все те значения аргумента, при которых функция обращается в ноль.

Обычно рассматривают три способа задания функции: аналитический (в виде формулы), табличный (таблица значений х и у) и графический (задан график функции).

Определение 13. Пусть задана функция у = f (x). Это же уравнение определяет х как неявную функцию от у. Разрешим данное уравнение относительно х, т. е. х = φ (у), для которой бывшая зависимая переменная у является аргументом, а бывшая независимая переменная – функцией. Полученная функция φ (у) называется обратной по отношению к исходной функции у (х).

Среди функций, заданных аналитически, основная роль в нашем курсе отводится элементарным.

Основные элементарные функции:

у = С,	у = хn,	у = ax (a > 0, a ≠ 1),	у = loga x (a > 0, a ≠ 1),
у = sin x,	у = cos x,	у = tg x,	у = ctg x,
у = arcsin x,	у = arccos x,	у = arctg x,	у = arcctg x.

Определение 14. Элементарными функциями называются все функции, которые можно составить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций.

Элементарные функции составляют значительную часть функций, которые рассматриваются в общем курсе высшей математики.