Глава 5 Аналитическая геометрия в пространстве

§ 1. Плоскость

Определение 1. Плоскостью будем называть поверхность, обладающую тем свойством, что прямая, проведенная через любые две точки плоскости, целиком принадлежит ей.

Определение 2. Ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости, будем называть нормальным вектором плоскости и обозначать .

Общее уравнение плоскости.

Т е о р е м а 1. Любая плоскость в декартовой системе координат определяется линейным уравнением вида:

А х + В у + С z + D = 0 – (1)

где А, В, С – координаты нормального вектора данной плоскости, х, у, z – текущие координаты точек плоскости.

Доказательство. Пусть П – данная плоскость, – нормальный вектор этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольную точку М (х, у, z). Тогда – радиус – вектор точки М.

Очевидно, что проекция радиуса – вектора любой точки плоскости на нормальный

вектор является величиной постоянной.

Это условие имеет место лишь для точек плоскости; оно нарушается, если точка М лежит вне плоскости.

Из векторной алгебры известно, что , следовательно Тогда или .

Обозначим , тогда уравнение примет вид

Это уравнение представляет общее уравнение плоскости в векторной форме. Записав скалярное произведение векторов и в координатной форме, получим уравнение (1), т. е. общее уравнение плоскости.

Анализ общего уравнения плоскости

Уравнение плоскости	Характеристики плоскости	Изображение плоскости
1) А∙х + В∙у + С∙z = 0, D = 0.	Уравнению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.
2) А∙х + В∙у + D = 0, С = 0.	Нормальный вектор перпендикулярен оси Оz. Следовательно, плоскость параллельна оси Oz.
3) А∙х + С∙z + D = 0, В = 0.	Нормальный вектор перпендикулярен оси Оy. Следовательно, плоскость параллельна оси Oy.
4) В∙у + С∙z + D = 0, А = 0.	Нормальный вектор перпендикулярен оси Ох. Следовательно, плоскость параллельна оси Oх.
5) А∙х + В∙у = 0, С = D = 0.	Плоскость проходит через О (0; 0; 0) параллельно оси Oz, т. е. плоскость проходит через ось Оz.
6) А∙х + С∙z = 0, В = D = 0.	Плоскость проходит через О (0; 0; 0) параллельно оси Oy, т. е. плоскость проходит через ось Оy.
7) B∙y + C∙z = 0, А = D = 0.	Плоскость проходит через О (0; 0; 0) параллельно оси Ox, т. е. плоскость проходит через ось Оx.
8) С∙z + D = 0, А = В = 0, т. е. .	Плоскость параллельна плоскости Оху.
9) В∙у + D = 0, А = С = 0, т. е. .	Плоскость параллельна плоскости Охz.
10) A∙x + D = 0, B = C = 0, т. е. .	Плоскость параллельна плоскости Оyz.
11) С∙z = 0, А = В = D = 0, т. е. z = 0.	Это уравнение плоскости Оху.
12) В∙у = 0, А = С = D = 0, т. е. у = 0.	Это уравнение плоскости Охz.
13) A∙x = 0, B = C = D = 0, т. е. x = 0.	Это уравнение плоскости Оyz.