- •Глава 5 Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 1. Плоскость
- •1. Угол между плоскостями.
- •2. Условие перпендикулярности двух плоскостей
- •3. Условие параллельности двух плоскостей
- •4. Условие совпадения плоскостей
- •§ 2. Прямая в пространстве
- •§ 3. Прямая и плоскость в пространстве
- •§4. Поверхности второго порядка
- •§ 4.1. Цилиндры второго порядка
- •§ 4.2. Эллипсоид, конус, гиперболоид
- •§ 4.3. Параболоиды.
- •«Прямая и плоскость в пространстве»
- •Решение практических задач по теме: «Плоскость»
- •Решение практических задач по теме: «Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости»
- •Решение практических задач по теме: «Поверхности второго порядка»
- •Примеры для самостоятельного решения
§ 3. Прямая и плоскость в пространстве
1. Угол между прямой и плоскостью. Пусть даны прямая
и плоскость
П: А х + В у + С z + D = 0.
Углом φ между прямой и плоскостью называют наименьший из углов, образованных прямой с ее проекцией на плоскость. Из рисунка видно, что
откуда .
Учитывая, что
и
находим
. (15)
2. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
L П
L || П
3. Точка пересечения прямой с плоскостью. Пусть требуется найти точку пересечения прямой L:
с плоскостью П: А∙х + В∙у + С∙z + D = 0.
Проще всего это сделать с помощью параметрических уравнений прямой:
(16)
Каждому значению параметра t соответствует точка прямой. Нужно выбрать такое значение t, при котором точка прямой L будет лежать на плоскости П. Подставляя х, у, z из соотношений (7) в уравнение плоскости П, получим уравнение, из которого найдем значение параметра t. Затем найденное значение параметра t подставляем в уравнения (7). Полученные таким образом х, у, z и будут координатами точки пересечения прямой L и плоскости П.
4. Условие принадлежности прямой плоскости П. Пусть прямая L и плоскость П заданы уравнениями:
,
.
Для того чтобы прямая L принадлежала плоскости П, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия:
– перпендикулярность векторов и ;
– точка М0 прямой L лежала на плоскости, т. е. ее координаты удовлетворяли уравнению плоскости, а именно
(17)
5. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями
Данные прямые лежат в одной плоскости в том и только в том случае, если их направляющие векторы и и компланарны, т. е.
или
(18)
§4. Поверхности второго порядка
К поверхностям второго порядка относятся цилиндры, эллипсоиды, конусы, параболоиды и гиперболоиды. В декартовых координатах эти поверхности описываются уравнением: F (x, y, z), левая часть которого есть целый многочлен второй степени относительно x, y, z.
Поверхности второго порядка можно разбить на три группы. В каждой из них канонические уравнения поверхностей имеют общий признак, которому соответствуют некоторые особенности в расположении их относительно системы координат.
Рассмотрим канонические уравнения и изображение поверхностей каждой группы с указанием характерного признака в уравнении и особенности в расположении относительно системы координат.
§ 4.1. Цилиндры второго порядка
Определение 6. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (образующая) движущейся вдоль некоторой линии (направляющая) и остающейся параллельной исходному направлению.
Определение 7. Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющей которой является окружность, эллипс, гипербола или парабола.
Характерным признаком уравнений цилиндров второго порядка является отсутствие в этом уравнении одной из текущих координат.
Особенности построения: образующие параллельны той оси, координата которой отсутствует в уравнении. Уравнение направляющей совпадает с уравнением поверхности.
Таким образом, цилиндрические поверхности определяются одним из следующих уравнений:
F (x, y) = 0: образующая параллельна оси Оz, направляющая:
F (y, z) = 0: образующая параллельна оси Оx, направляющая:
F (x, z) = 0: образующая параллельна оси Оy, направляющая:
Составим таблицу цилиндров второго порядка.
Эллиптический цилиндр: направляющей является эллипс. |
||
|
. Направляющая – . Образующая || Oz. |
|
|
. Направляющая – . Образующая || Oх. |
|
|
. Направляющая – . Образующая || Oу. |
|
Круговой цилиндр: направляющей является окружность. |
||
|
а = R; b = R; c = R. , образующая || Oz. , образующая || Oх. , образующая || Oу. |
|
Гиперболический цилиндр: направляющей является гипербола. |
||
|
а) . Направляющая – . Образующая || Oz, ось Ох – мнимая. |
|
|
б) . Направляющая – . Образующая || Oz, ось Оу – мнимая. |
|
в) . Направляющая – . Образующая || Oу, ось Ох – мнимая. г) . Направляющая– . Образующая || Oу, ось Оz – мнимая. д) . Направляющая – . Образующая || Ox, ось Оy – мнимая. е) . Направляющая – . Образующая || Ox, ось Оz – мнимая. |
||
Параболический цилиндр: направляющей является парабола. |
||
|
а) y2 = 2 p x, образующая || оси Оz, направляющая: . |
|
|
б) х2 = 2 p у, образующая || оси Оz, направляющая: . |
|
в) y2 = 2 p z, образующая || оси Оx, направляющая: |
||
г) z2 = 2 p y, образующая || оси Оx, направляющая: |
||
д) x2 = 2 p z, образующая || оси Оy, направляющая: |
||
е) z2 = 2 p x, образующая || оси Оy, направляющая: |