Глава 12 Двойной интеграл.

12.1. Понятие двойного интеграла.

З а д а ч а. Найти объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y) (f (x, y) > 0), снизу конечной замкнутой областью S плоскости Оху с образующей параллельной оси Оz.

Для вычисления объема V данного тела, разобьем основание его S на конечное число элементарных ячеек: ∆S₁, ∆S₂, …, ∆S_n. В каждой из этих ячеек выберем точку М_i (x_i, y_i, z_i) ∈ ∆S_i и построим прямой цилиндрический столбик с основанием ∆S_i и высотой M_iN_i = f (x_i, y_i), равной аппликате поверхности в выбранной точке.

Тогда объем полученного столбика

V_i = f (x_i, y_i)∙∆S_i,

где ∆S_i – площадь соответствующей ячейки.

Сумма объемов всех цилиндрических столбиков представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное криволинейное тело, причем аппроксимация является, вообще говоря, тем более точной, чем меньше диаметр ячеек ∆S_i. Поэтому объем цилиндроида приближенно выразится суммой

Данная формула дает возможность найти объем V с любой степенью точности, если число ячеек ∆S_i достаточно велико и линейные размеры их весьма малы.

Обозначим через d_i диаметр ячейки ∆S_i, т. е. её наибольший линейный размер (диаметр прямоугольника равен его диагонали, эллипса – его большой оси и т.д.). Тогда – наибольший из диаметров ∆S₁, ∆S₂, …, ∆S_n. Тогда

Выражение, стоящее в левой части данной формулы называется двойным интегралом от функции f (x, y), распространенным на области S и обозначается следующим образом

Следовательно, (12.1)

Определение. Двумерной интегральной суммой от данной функции f (x, y), распространенной на данную область S, называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек ∆S_i области S на значения f (x_i, y_i) функции f (x, y) в выделенных точках этих ячеек, т. е.

Определение. Двумерным интегралом от функции f (x, y), распространенным на данную область S, называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа п элементарных ячеек ∆S_i и стремлении к нулю их наибольшего диаметра d при условии, что этот предел существует и не зависит от способа дробления области S на элементарные ячейки ∆S_i и выбора точек в них, т. е.

где f (x, y) – подынтегральная функция;S – область интегрирования;

dS – элемент площади.

12. 2. Геометрический смысл двойного интеграла.

Если f (x, y) ³ 0, то двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндроида, построенного на области S как на основании и ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y).

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем при решении задач мы будем использовать это обстоятельство, выбирая наиболее подходящие сетки. Очень часто удобной оказывается прямоугольная сетка, образованная пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям Ох и Оу.

В этом случае ∆S_i – прямоугольники со сторонами ∆x_i, ∆y_j; а ∆S_i = ∆x_i∙∆y_j.