Глава 2 Система координат на плоскости и в пространстве. Основные задачи

§ 1. Прямоугольные декартовы координаты

Определение 1. Способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости, называется системой координат на плоскости.

Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок.

Определение 2. Взаимно перпендикулярные прямые с заданным положительным направлением и единичным отрезком одинаковым для обеих прямых, называются осями координат.

Определение 3. Точка пересечения осей координат называется началом координат и обозначается буквой О.

Обычно ось координат, расположенную горизонтально и направленную вправо, принято называть осью абсцисс или осью Ох, а ось, расположенную вертикально и направленную вверх, называют осью ординат или осью Оу.

Определение 4. Проекцией точки М на прямую называется основание перпендикуляра, проведенного из точки М к данной прямой.

Определение 5. Координатой точки М, лежащей на оси координат с началом в точке О, называется длина отрезка ОМ, взятая со знаком «+», если точка М лежит на положительной полуоси, и со знаком «–» – в противном случае.

Определение 6. Пусть точка М не лежит на оси координат. Координата проекции точки М на ось координат называется координатой точки М по этой оси.

Всю систему координат обозначают Оху, а плоскость, в которой она расположена, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху.

Проведем через точку М прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную пару чисел (х, у) по следующему правилу:

х – координата точки М по оси Ох,

у – координата точки М по оси Оу.

Числа х и у называются прямоугольными декартовыми координатами точки М; при этом х называется ее абсциссой, а у – ординатой.

Координаты точки записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: М (х; у), причем на первом месте пишется абсцисса, а на втором месте – ордината. Точка О имеет координаты (0; 0).

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые координатными четвертями (квадрантами) или координатными углами. Эти квадранты нумеруются следующим образом: в направлении против хода часовой стрелки, начиная с того квадранта, где обе координаты положительные.

Если исключить точки, лежащие на осях координат, то получим следующую таблицу знаков координат в квадрантах

	I	II	III	IV
x	+	–	–	+
y	+	+	–	–

Итак, если на плоскости задана прямоугольная система координат Оху, то

1) каждой точке на плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (пара координат точки);

2) разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;

3) каждая упорядоченная пара чисел соответствует одной точке плоскости.