- •Глава 2 Система координат на плоскости и в пространстве. Основные задачи
- •§ 1. Прямоугольные декартовы координаты
- •§ 2. Основные задачи на метод координат на плоскости
- •§ 3. Полярные координаты
- •§ 4. Параметрические уравнения
- •§ 5. Прямоугольные координаты в пространстве
- •§ 6. Основные задачи на метод координат в пространстве
- •Решение практических задач по теме: "Прямоугольные декартовы координаты"
- •Решение практических задач по теме: "Основные задачи на метод координат на плоскости"
- •Решение практических задач по теме: "Полярные координаты"
- •Решение практических задач по теме: "Параметрические уравнения"
- •Решение практических задач по теме: "Прямоугольные координаты в пространстве"
- •Решение практических задач по теме: "Основные задачи на метод координат в пространстве"
- •Примеры для самостоятельного решения
§ 2. Основные задачи на метод координат на плоскости
1. Расстояние между двумя точками. Пусть на плоскости Оху даны точки А (х1; у1) и В (х2; у2). Расстояние d между точками А и В выражается через их координаты формулой
. (1)
2. Деление отрезка в данном отношении. Даны точки А (х1; у1) и В (х2; у2). Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ в следующем отношении .
Искомые координаты точки М находятся по следующим формулам:
– (2)
формулы деления отрезка в данном отношении.
В частности, если λ = 1, т. е. АМ = МВ, то они примут вид
– (3)
формулы вычисления координат середины отрезка.
§ 3. Полярные координаты
Кроме декартовой системы координат на плоскости часто используют полярную систему.
Полярная система координат задается: точкой О, называемой полюсом, лучом ОР, называемым полярной осью.
Определение 7. Полярными координатами точки М на плоскости (не совпадающей с полюсом) называют полярный радиус ρ = ОМ точки М и полярный угол φ, то есть угол, на который надо повернуть полярную ось против часовой стрелки до совпадения ее с вектором (φ > 0 поворот против часовой стрелки, φ < 0 – по часовой стрелке).
Пара (ρ, φ) – координаты точки М в полярной системе координат. Положение любой точки М на плоскости однозначно определяется координатами ρ и φ, причем
0 ρ < , 0 φ < 2π.
Если точка М совпадает с полюсом О, то ее полярный радиус ρ = 0, а угол φ можно выбрать любым.
Обобщенными полярными координатами точки М называют ее полярные координаты ρ и φ, такие что – < ρ < , – < φ < . Чтобы указать точку М (ρ, φ) в обобщенной полярной системе координат, надо построить луч, образующий с полярной осью ρ угол φ, затем отложить ρ единиц масштаба на нем, если ρ > 0, и на его продолжение, если ρ < 0.
Связь между декартовыми и полярными координатами.
а) если даны декартовы координаты х и у точки М, то ее полярные координаты определяются согласно формулам:
(4)
б) если даны полярные координаты (ρ, φ) точки М, то ее декартовы координаты определяются по формулам:
х = ρ cos φ y = ρ sin φ. (5)
§ 4. Параметрические уравнения
Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений
(6)
где х и у – координаты произвольной точки М (х; у), лежащей на данной линии, а t – переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.
Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (6) – параметрическими уравнениями линии.
Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F (x; y) = 0, надо каким – либо способом из двух уравнений исключить параметр t.
Однако заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.
§ 5. Прямоугольные координаты в пространстве
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве определяется аналогично.
Возьмем три взаимно перпендикулярные числовые оси, пересекающиеся в точке О: Ох, Оу, Oz. Выберем на каждой из них положительное направление; противоположное направление будем считать отрицательным.
Точка О – начало координат, Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Oz – ось аппликат.
Пусть М – некоторая точка пространства. Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу, Oz и поставим ей в соответствие упорядоченную тройку чисел (х; у; z) по следующему правилу:
х – координата точки М по оси Ох (согласно определению 6);
у – координата точки М по оси Оу;
z – координата точки М по оси Оz.
Числа х, у и z называются прямоугольными координатами точки М; при этом х называется абсциссой точки М, у – ее ординатой, а z – аппликатой. Координаты точки записывают рядом с буквой, обозначающей точку: М (х; у; z), причем на первом месте пишется абсцисса, на втором – ордината и на третьем – аппликата. Плоскости Оху, Oyz, Oxz называются координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами. Таким образом, если в пространстве вводится прямоугольная декартова система координат Oxyz, то:
1) каждой точке пространства поставлена в соответствие единственная упорядоченная тройка чисел (ее прямоугольные координаты);
2) разным точкам пространства соответствуют разные упорядоченные тройки чисел;
3) каждой упорядоченной тройке чисел (х; у; z) соответствует, и притом одна, точка пространства.