Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 7.doc

Скачиваний:

Добавлен:

08.11.2018

Размер:

1.06 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Глава 7 Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§ 1. Производная функции одной переменной

Определение 1. Производной функции у = f (x) называется величина, обозначаемая f ′(x) и равная пределу отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х, когда ∆х стремиться к нулю, т. е.

Другие обозначения у ;

Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача о касательной и нормали к кривой (геометрический смысл производной).

Пусть М₀ – фиксированная точка данной непрерывной кривой К. Рассмотрим секущую М₀М, проходящую через точку М₀. Пусть точка М по кривой неограниченно приближается к точке М₀, тогда секущая М₀М стремится к некоторому предельному

положению М₀Т, т. е. угол γ стремится к нулю при М стремящемся к М₀. Тогда предельная прямая МТ называется касательной, проведенной к кривой К в точке М₀.

Определение 2. Касательной к данной непрерывной кривой в данной точке М₀ (точка касания) называется предельное положение секущей М₀М, проходящей через точку М₀, когда точка М неограниченно приближается по кривой к точке М₀.

Постановка задачи. Зная уравнение линии у = f (x), найти уравнение касательной в данной точке М (х, у), предполагая, что касательная существует.

Пусть дана функция у = f (x). Пусть аргумент х₀ получил некоторое

приращение ∆х. Тогда функция у получит приращение ∆у. Таким образом:

– при значении х₀ будет иметь у = f (x₀),

– при значении х₀+ ∆х будет иметь у + ∆у = f (x₀+ ∆x).

Выразим приращение функции ∆у = f (x₀+ ∆x) – f (x₀) и составим отношение

Найдем предел этого отношения при ∆х стремящемся к нулю. Если этот предел существует, то его называют согласно определению производной данной функции f (x) в точке х₀ и обозначают f (x).

Возьмем на линии еще одну точку М (х₀ + ∆х; у₀ + ∆у). Проведем секущую ММ  и прямые МN || Ох и МN || Оу. ∆ММ N – прямоугольный с катетами ∆х и ∆у. Из этого треугольника определяем угловой коэффициент секущей:

(1)

Пусть теперь М  → М, тогда ∆х → 0 и ММ  → МТ – касательной в точке М. При ∆х → 0 угол φ → α и если МТ не перпендикулярна к оси Ох, то в силу непрерывности тангенса получим

tg φ → tg α.

Отсюда, переходя к пределу при ∆х → 0 в (1), найдем угловой коэффициент k = tg α касательной МТ:

Таким образом, угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f (x) равен значению ее производной в точке касания, т. е. k = f (x₀). Зная угловой коэффициент касательной, легко написать ее уравнение:

Так как у – у₀= k (x – x₀), y₀= f (x₀), k = f (x₀), то

y – y₀= f (x₀)(x – x₀).

Определение 3. Нормалью к кривой в точке М₀(х₀, у₀) называется перпендикуляр к касательной в той же точке.

Если k – угловой коэффициент касательной, а k₁ – угловой коэффициент нормали, то , а т. к. k = f (x₀) легко записать уравнение нормали

Если в точке х₀ у₀= 0, то касательная параллельна оси Ох. Тогда нормаль перпендикулярна к оси Ох и проходит через точку М₀ (х₀, у₀). Это означает, что ее уравнение: х = х₀.

2. Задача о скорости прямолинейного неравномерного движения (механический смысл производной).

Пусть х – время, прошедшее от начала отсчета; у = f (x) – расстояние, которое прошло тело за время х от начала движения. Рассмотрим промежуток времени ∆х, прошедший от момента х до момента х + ∆х. За это время тело пройдет путь

∆у = f (x + ∆x) – f (x).

Отношение пройденного пути ∆у к промежутку времени ∆х называется средней скоростью движения тела за данный промежуток времени

Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше промежуток времени ∆х.

Тогда мгновенной скоростью движения тела в момент времени х будет предел средней скорости при неограниченном уменьшении промежутка времени ∆х (если этот предел существует):

Полученное выражение представляет производную функции у по переменной х, т. е.

Таким образом, скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени. Или, рассматривая функцию f (x) лишенную конкретного физического содержания, можно сказать, что производная функции y = f (x) в точке х есть скорость изменения функции в этой точке.

Рассмотрение задач о касательной и скорости движения исторически привело к понятию производной.

Итак, .

К подобному выражению приводят и многие другие задачи, что объясняет важность введения понятия производной. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Определение 4. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [a, b] или интервала (а, b), то говорят, что она дифференцируема на этом отрезке или интервале.

Т е о р е м а 1. (о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции)

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.

Доказательство. Пусть y = f (x) дифференцируема в точке х, т. е.

Тогда определим

По определению непрерывности следует, что y = f (x) – непрерывна. Что и требовалось доказать.

Замечание: обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной. Например, . Эта функция непрерывна в точке х = 0, но не является дифференцируемой для этого значения, т. к. в точке х = 0 к графику функции не существует касательной.

Правило непосредственного вычисления производной функции

Для нахождения производной функции у = f (x) необходимо произвести следующие действия:

Дать аргументу х приращение ∆х, вычислить наращенное значение функции f (x + ∆x);
Найти соответствующее приращение функции

∆y = f (x + ∆x) – f (x);

Составить отношение
Найти предел данного отношения при ∆х → 0

;

Будем пользоваться этим правилом для нахождения основных формул дифференцирования и вычисления производных от основных элементарных функций.

Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, т. е. С = 0.

Доказательство. Пусть у = С = const, тогда ∆у = 0. Следовательно,

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций.

(U  V) = U   V .

Доказательство. Пусть у = U  V. Зададим ∆х.

Новому значению х + ∆х аргумента соответствуют новые значения наших функций U + ∆U и V + ∆V. Тогда

∆y = ∆( U  V) = [( U + ∆U)  ( V + ∆V)] – ( U  V) = ∆U  ∆V,

Найдем

3. Производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна

(U  V) = V∙U  + U∙V .

Доказательство. Пусть у = U  V. Дадим х приращение ∆х.

Новому значению х + ∆х аргумента соответствуют новые значения функций U + ∆U, V + ∆V. Тогда функция U V получит приращение

∆y = ∆( U  V) = [( U + ∆U) ( V + ∆V)] – U V =

= U V +V∆U + U ∆V+∆U∆V–UV = V∆U + U ∆V+∆U∆V.

По определению производной

При доказательстве формулы надо учесть, что функция U (x) дифференцируема, и, следовательно, непрерывна, т. е. .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т. е.

(С∙у) = С у.

Доказательство. (Су) = Су + Су = Су.

5. Производная отношения двух функций равна

Доказательство. . Составим ∆ у

и найдем

В доказательстве формулы снова было учтено, что из дифференцируемости функции V (x) следует ее непрерывность, т. е. .

6. Производная сложной функции. Пусть у = f (U), U = φ (x). Производная сложной функции f (φ (x)) равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.