Правила дифференцирования

Вынесение числа за знак производной: (С∙у) = С у.	Производная от алгебраической суммы: (U  V) = U   V .
Производная произведения: (U  V) = V∙U  + U∙V .	Производная сложной функции:
Производная частного:	Производная функции заданной параметрическими уравнениями:

Таблица основных элементарных и соответствующих сложных функций

Название Функции	Элементарные функции	Сложные функции
Степенная Частный случай – корень
Показательная Частный случай – экспонента
Логарифмическая Частный случай – натуральный логарифм
Тригонометрические
Обратные тригонометрические
Гиперболические

§ 2. Дифференциал функции одной переменной

В настоящее время мы считаем дифференциал вторичным понятием, определенным через понятие производной; однако это не всегда было так: в эпоху зарождения анализа бесконечно малых и еще долгое время спустя первичным понятием анализа считали именно дифференциал, производную же определяли как отношение дифференциалов, т. е. как вторичное понятие. При этом часто понятие дифференциала оставалось без четкого определения и даже несло в себе противоречивые черты.

Определение 5. Дифференциалом функции у = f (x) называется произведение производной f (x) на приращение независимой переменной ∆х и обозначается d y, т. е.

d y = f (x) ∆x.

Итак, мы записали чисто формальное определение дифференциала, однако, понять то огромное значение, какое имеет понятие дифференциала для анализа и его приложений оно не позволяет. Чтобы разобраться в этом вопросе, надо вглядеться в идею дифференциала по существу.

Т е о р е м а 2. (аналитический смысл дифференциала). Дифференциал представляет собой главную линейную часть приращения функции, т. е. dy ≈ ∆y.

Доказательство. Так как по определению, то , где α – б. м. ф. при ∆ х  0, или ∆у = у∙∆х + α∙∆х = dy + β, где β = α ∆ х бесконечно малая функция. Т. к. f (x) – дифференцируема, следовательно, она непрерывна, т. е.

, тогда ,

т. е. d y – б. м. ф. при ∆ х → 0.

Сравним ∆ у и d y при ∆ х → 0

Следовательно, dy и ∆у – эквивалентные бесконечно малые функции при ∆х → 0 и dy ≈ ∆y.

Т е о р е м а 3. (геометрический смысл дифференциала). Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции, когда аргумент получает приращение ∆х.

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна в точке х₀ и некоторой ее окрестности у₀.

Зафиксируем произвольно приращение аргумента ∆ х. Проведем в точке х₀ касательную к графику функции до пересечения с прямой х = х₀ + ∆ х (точка В). Координаты точки В (х₀ + ∆ х; у_k), где у_k – ордината касательной в точке х₀ + ∆ х, удовлетворяют уравнению этой касательной у – у₀ = f  (x₀) (x – х₀)

y_k – у₀ = f  (x₀) ∆ х.

В правой части этого равенства стоит дифференциал d y функции f (x) в точке х₀. Таким образом, d y = y_k – y₀ – дифференциал функции равен приращению ординаты касательной.

Т е о р е м а 4. (механический смысл дифференциала). Дифференциал пути равен приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с данного момента времени t, точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Действительно, рассмотрим неравномерное прямолинейное движение точки, осуществляющееся по закону S = f (t), где S – длина пути, t – время. Приращенному моменту времени t + ∆ t соответствует приращенное значение пути

S + ∆ S = f (t + ∆ t),

откуда

∆ S = f (t + ∆ t) – f (t).

Эта формула выражает истинное приращение пути за промежуток времени ∆ t.

Вычислим дифференциал пути. Так как S  = f  (t) =  (t) – скорость в момент времени t, то

d S = f  (t)∙∆ t =  (t)∙∆t.

Т е о р е м а 5. Дифференциал независимой переменной равен ее приращению, т. е.

dx = ∆x.

Доказательство. Пусть y = f (x) = x, тогда f (x) = 1

dy = dx = f (x)∙∆x = 1∙∆x  dx = ∆x.

Т е о р е м а 6. Дифференциал функции у = f (x) равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной, т. е.

dy = f (x)∙dx. (1)

Т е о р е м а 7. Производная функции у = f (x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу независимой переменной, т. е.

Т е о р е м а 8 (об инвариантности формы дифференциала). Дифференциал функции всегда равен произведению ее производной и дифференциала аргумента и не зависит от того, является ли величина, по которой взята производная, независимой переменной или промежуточным аргументом.

Доказательство. Если х – независимая переменная, то

dy = f (x) ∆x = f (x) dx.

Пусть теперь величина х является функцией х = φ (t) новой переменной t; ясно, что при этом оба соотношения dy = f (x) ∆x и d y = f (x) d x не могут остаться справедливыми, т. к. теперь d x = φ (t) ∆ t ≈ ∆ x. Замечательно, что второе соотношение d y = f (x) d x, остается в силе при любой такой замене; в самом деле, в результате этой замены у становится функцией от t: y = f [φ (t)]. Отсюда по правилу дифференцирования сложной функции:

y (t) = f [φ (t)]∙φ (t)

d y = у (t) d t = f [φ (t)]∙φ (t) d t,

а т. к. φ (t) = x, φ (t) d t = d x, то действительно d y = у (х) d х, как если бы х была независимая переменная. Таким образом, в выражении производной безразлично, есть ли х независимая переменная или дифференциал функции другой независимой переменной.

Замечание. Дифференциал функции обладает теми же свойствами, что и ее производная.

Таблица дифференциалов

1. .	11.
2. , частности .	12.
3. , в частности .	13.
4. если у = f (x), то .	14.
5. если у = f (U), U = φ (x), то .	15.
6. .	16.
7.	17.
8. в частности	18.
	19.
9. в частности	20.
10.	21.