Глава 9 неопределенный интеграл

§ 1. Первообразная функции.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной

f (x) или df = f (x) dx

функции f (x).

В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f (x) требуется найти такую функцию F (x), что

F (x) = f (x) или dF (x) = F (x) dx = f (x) dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F (x) по известной производной (дифференциалу) этой функции.

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором множестве, если она дифференцируема на этом множестве и F (x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx.

Т е о р е м а 1. Любая непрерывная на [a; b] функция f (x) имеет на этом отрезке первообразную F (x).

Т е о р е м а 2. Если F₁(x) и F₂(x) – две различные первообразные одной и той же функции f (x) на множестве х, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е.

F₂(x) = F₁(x) + C,

где С – постоянная.

Доказательство. Пусть F₁(x) и F₂(x) – первообразные функции f (x). Их разность F (x) = F₂(x) – F₁(x) является дифференцируемой функцией. Следовательно,

т. е. F₂(x) – F₁(x) = С.

Следствие. Если F (x) – некоторая первообразная функции f (x), то все первообразные этой функции определяются выражением F (x) + C, где С – произвольная постоянная.

Определение 2. Операция отыскания первообразной F (x) функции f (x) называется интегрированием.

Определение 3. Совокупность F (x) + C всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом и обозначается

где f (x) d x – подынтегральное выражение,

f (x) – подынтегральная функция,

х – переменная интегрирования,

С – постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная – подынтегральной функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. и .

Доказательство. Пусть

.

2.

Доказательство. Так как dF (x) = F (x) d x, а F (x) = f (x), то

3.

Доказательство. Пусть F (x) – первообразная функции f (x): F (x) = f (x). Тогда а F (x) – первообразная функции af (x):

(аF (x)) = а F (x) = аf (x).

Следовательно,

4.

Доказательство. Проведем для двух функций. Пусть F (x) = f₁(x), Ф (х) = = f₂ (x). Тогда F (x)  Ф (х) является первообразными функций f₁(x)  f₂(x). Следовательно,

5. Если F (x) первообразная функции f (x), то

Доказательство. Действительно

6. (инвариантность формул дифференцирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где U – дифференцируемая функция.

Доказательство. Воспользуемся свойством инвариантности формы дифференциала первого порядка.

Если dF (x) = F (x)dx, то dF (U) = F (U)dU, где U = U (x).

Пусть , тогда . Так как

и

получаем .

Таблица основных правил и формул интегрирования.

Таблица основных формул интегрирования получается из таблицы производных элементарных функций при обратном ее чтении.

Буква z может обозначать как независимую переменную z = x, так и функцию от независимой переменной z = z (x).

1. .	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12. .

13.

14.

В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет универсальных приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный интеграл к табличному.