§ 2. Основные методы интегрирования.
Основными методами интегрирования являются: метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной и интегрирование по частям.
I. Непосредственное интегрирование. Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью таблицы интегралов.
П р и м е р.
Проверка.
Замечание. Нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, т. к. сумма произвольных постоянных есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.
II. Метод замены переменной или способ подстановки. Пусть f (x) непрерывна на (а, b) и х = φ (t) дифференцируема на (α, β); причем функция φ отображает (α, β) в (а, b). На основании свойства независимости неопределенного интеграла от выбора аргумента, и учитывая, что dx = φ(t)dt, получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле
(1)
Интеграл, стоящий в правой части (1) может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным.
Итак, для вычисления
с помощью подстановки х
= φ (t)
надо в функции f
(x)
заменить х
на φ(t)
и положить d
x
= φ(t)
d
t.
При этом получаем искомую функцию,
выраженную через переменную t.
Для возвращения к переменной х
необходимо t
заменить значением t
= (x),
которое находится из соотношения х
= φ (t).
Иногда формулу (1) удобно применять справа налево, т. е.
или
где t
= φ(x).
При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь ввиду следующие правила:
а)
Если
то
.
б)
Если
то
.
в)
Если
то
.
III. Интегрирование по частям. Пусть U = U(x) и V = V(x) –две функции от х, имеющие непрерывные производные. Тогда
(2)
В равенстве (2) произвольной постоянной не пишем, т. к. в правой части формулы остался неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.
Формула (2) называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление исходного интеграла к вычислению интеграла, который во многих случаях оказывается более простым. Иногда для получения окончательного результата необходимо интегрирование по частям применять последовательно несколько раз.
Группы интегралов, вычисляемые по формуле интегрирования по частям:
|
1. |
|
где Рп (х) – многочлен степени п, k – некоторое число. Интегралы этого типа берутся по частям, если положить U = Pп (x) и интегрирование по частям ведется п раз. |
|
2. |
|
где Рп (х) – многочлен степени п. Во всех этих случаях за U принимают функцию, являющуюся множителем при Рп (х). |
|
3. |
|
где a, b – числа. Для этих интегралов решение по частям применяется дважды. |
§ 3. Многочлены. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби.
Определение 4. Корнем многочлена Р (х) называют всякое число α, обращающее многочлен в ноль, т. е. такое, что Р (α) = 0.
Т е о р е м а 3. Каждый многочлен Р (х) степени п может быть представлен в виде произведения
Р (х) = А (х – α1)∙(х – α2)∙…∙(х – αп),
где А – коэффициент при старшей степени х многочлена Р (х), α1, …, αп – корни многочлена Р (х). Множители (х – αi) называются элементарными множителями.
Определение 5. Корень α многочлена Р (х)для которого элементарный множитель (х – α) в разложении встречается k1 раз, называется корнем кратности k1. Корень кратности 1 называется простым.
Учитывая кратность корней αi мы можем записать разложение Р (х) следующим образом:
,
где a, b, …, ℓ – корни Р (х) кратности k1, k2, …, ks соответственно.
Т е о р е м а 4. Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующей форме:
Определение 6. Рациональной дробью называется функция, равная частному от деления двух многочленов
– многочлен степени
m,
– многочлен степени n.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае рациональная дробь называется неправильной.
Т е о р е м а 5. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, т. е.
.