Глава 8 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

§ 1. Понятие функции нескольких переменных.

Определение 1. Если каждой паре независимых друг от друга переменных х, у из некоторого множества D соответствует определенное значение переменной z, то z называется функцией двух переменных х, у. При этом пишут z = f (x, y) или z = z (x, y).

В прямоугольных декартовых координатах Охуz графиком функции z = f (x, y) обычно служит некоторая поверхность, при этом область D является частью плоскости хОу.

Рис. 1.

Определение 2. Если каждой совокупности значений независимых друг от друга п переменных x, y, …, t из некоторого множества D ставится в соответствие определенное значение переменной U, то U есть функция п переменных x, y, …, t. При этом пишут

U = f (x, y, …, t) или U = U (x, y, …, t).

Замечание. Функция трех и более переменных графического представления не имеет.

Определение 3. Множество D, на котором задана функция многих переменных, называется областью определения или областью существования этой функции.

Определение 4. Область существования D функции U = U (x, y, …, t) называется замкнутой, если она включает в себя свои граничные точки, и – незамкнутой, если функция не определена в граничных точках.

Определение 5. Функция многих переменных называется однозначной, если каждой совокупности значений независимых переменных из области определения соответствует единственное значение функции.

§ 2. Непрерывность функции нескольких переменных

Определение 6. Величины

∆_xU = U (x + ∆x, y, …, t) – U (x, y, …, t);

∆_yU = U (x, y + ∆y, …, t) – U (x, y, …, t);

… … … … … … … … … … … … … …;

∆_tU = U (x, y, …, t + ∆t) – U (x, y, …, t)

называются частными приращениями функции U (x, y, …, t) в точке (x, y, …, t) по x, y, …, t соответственно.

Определение 7. Величина

∆U = U (x + ∆x, y + ∆y, …, t + ∆t) – U (x, y, …, t)

называется полным приращением функции U (x, y, …, t) в точке (x, y, …, t).

Непрерывность функции многих переменных

Определение 8. В случае функции двух переменных х, у δ – окрестностью точки М₀ (х₀, у₀) называется совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса δ с центром в точке М₀.

В случае функции трех переменных х, у, z δ – окрестностью точки М₀ (х₀, у₀, z₀) называется совокупность всех точек, лежащих внутри шара радиуса δ с центром в точке М₀.

В случае функции п переменных х, у, …, t δ – окрестностью точки М₀ (х₀, у₀, …, t₀) называется совокупность точек лежащих внутри п – мерного шара радиуса δ с центром в точке М₀. δ – окрестность точки М₀ обозначается δ (М₀)

Определение 9. Число А называется пределом функции U = U (x, y, …, t) в точке М₀ (х₀, у₀, …, t₀), если

ε > 0  M (x, y, …, t) ∈ δ (М₀)  |U (x, y, …, t) – A| < ε.

При этом пишут

.

Определение 10. Функция U (x, y, …, t) называется непрерывной в точке (х₀, у₀, …, t₀), если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям аргументов ∆х, ∆у, …, ∆t соответствует бесконечно малое приращение функции ∆U, т. е.

Иначе условие непрерывности функции U можно представить следующим образом

или

Определение 11. Точка (х₀, у₀, …, t₀), в которой не выполняется условие непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.

Определение 12. Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непрерывной в этой области.

Примеры точек разрыва для функции двух переменных.

1. – непрерывна всюду кроме точки (0; 0), которая является точкой разрыва. При х → 0 и у → 0 функция z → . Геометрически это означает, что в точке (0; 0) поверхность имеет бесконечный шпиль (рис. 2).

Рис. 2 Рис. 3.

2. Точки разрыва функции двух переменных могут образовывать целые линии. Для функции точками разрыва являются все точки, лежащие на биссектрисах координатных углов плоскости Оху, т. е. точки, в которых у = х или у = – х (рис. 3).