§ 3. Частные производные функции двух переменных.

Определение 13. Частными производными по x, y, …, t функции U = U (x, y, …, t) называются величины, обозначаемые и определяемые формулами:

Другие обозначения частных производных:

– соответственно.

Правило вычисления частных производных.

Чтобы найти частную производную функции по данной независимой переменной, необходимо все остальные переменные мысленно считать постоянными величинами и вычислять производную по правилам дифференцирования функции одной переменной.

П р и м е р. Найти частные производные от функции z = y²sin xy по х и по у.

Определение 14. Полным дифференциалом dU функции многих переменных U = U (x, y, …, t) называется величина, определяемая формулой

§ 4. Производная по направлению

Определение 15. Под производной функции U в данном направлении ℓ понимается предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при условии, что последняя стремится к нулю, т. е.

.

Производная определяет скорость изменения функции в направлении ℓ.

Т е о р е м а 1 (формула производной по направлению). Производная функции U по направлению ℓ в точке М (x, y, z) вычисляется по формуле

,

где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы.

§ 5. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Определение 16. Если в области D декартовых координат x, y, z задана скалярная функция U = U (x, y, z), то говорят, что задано скалярное поле.

Определение 17. Градиентом скалярного поля U = U (x, y, z) в области D называется вектор, обозначаемый grad U, координаты которого в декартовом базисе равны соответствующим частным производным от U, т. е.

.

Т е о р е м а 2 (о связи градиента с производной по направлению). Производная функции U = U (x, y, z) по направлению равна проекции grad U на это направление, т. е.

.

Производные неявных функций

Определение 18. Если функция у = у (х), z = z (x, y), …,  =  (x, y, …, t) заданы уравнениями F (x, y) = 0, Ф (x, y, z) = 0, …,  (x, y, …, t, ) = 0 соответственно, то говорят, что функции y, z, …,  заданы неявно.

Т е о р е м а 3 (о производных неявных функций). Если F (x, y) = 0, то

(1)

Если Ф (x, y, z) = 0, то

(2)

(3)

Геометрическим образом функции двух переменных z = f (x, y) является некоторая поверхность. Выберем на ней точку М₀ (x₀, y₀, z₀).

Определение 19. Касательной плоскостью к поверхности в данной точке называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Если уравнение поверхности задано явно, т. е. z = f (x, y), то уравнение касательной плоскости П, проведенной к данной поверхности в точке М₀ (x₀, y₀) имеет вид:

Рис. 9.

. (4)

Если уравнение поверхности Р задано неявной функцией F (x, y, z) = 0, то

В этом случае уравнение касательной плоскости П к поверхности в точке М₀ (x₀, y₀, z₀) имеет вид:

(5)

Замечание. Точка, в которой хотя бы одна из производных не существует, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной.

Определение 19. Нормалью к поверхности Р в данной точке М₀ называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

Согласно условию перпендикулярности прямой и плоскости, уравнение нормали к поверхности z = f (x, y) в точке М₀ (x₀, y₀, z₀) имеет вид:

Если поверхность Р задана неявно функцией F (x, y, z) = 0, то уравнение нормали примет вид: