§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Производные первого порядка являются функциями, следовательно, их можно дифференцировать.

Определение 20. Частные производные по х и по у от частных производных первого порядка, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции z = f (x, y) в точке Р (х, у) и обозначаются

–

– (f дифференцируется последовательно два раза по х);

–

– (f дифференцируется сначала по х затем по у);

–

– (f дифференцируется сначала по у затем по х);

–

– (f дифференцируется последовательно два раза по у).

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по у. В результате получим восемь частных производных третьего порядка:

и так далее.

Частные производные высших порядков функции z = f (x, y), взятые по различным переменным, называются смешанными производными.

Т е о р е м а 4. Если функция z = f (x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в области их определения, то

= .

Определение 21. Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой точке Р (х, у), если он существует, называется дифференциалом второго порядка и обозначается

d²z = d (d z),

Дифференциалы третьего и выше порядков получаются аналогично.

§ 7. Локальные экстремумы функции двух переменных.

Определение 22. Точка М₀ (x₀, y₀) называется точкой локального максимума (минимума) функции z =f (x, y), если существует δ – окрестность этой точки, такая, что для всех М (x, y) ∈ δ(М₀) выполняется неравенство

f (x₀, y₀) > f (x, y) (f (x₀, y₀) < f (x, y)).

Точки максимума или минимума функции называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – экстремумами функции.

Т е о р е м а 5 (необходимые условия существования экстремума). Если в точке М₀ (x₀, y₀) дифференцируемая функция f (x, y) имеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

,

или, по крайней мере, одна из них не существует.

Доказательство. Рассмотрим в δ (М₀) лишь те точки, для которых у = у₀. Получим функцию z = f (x, y₀) = φ (х) одной переменной. Эта функция имеет в точке х₀ экстремум, следовательно, .

Аналогично доказывается, что .

Точка М₀ (x₀, y₀) – называется стационарной, критической или точкой возможного экстремума.

Следствие. Если функция z = f (x, y) имеет в точке М₀ экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен нулю или не существует.

Т е о р е м а 6 (достаточные условия существования экстремума). Стационарная точка М₀ дважды дифференцируемой в ее окрестности функции z = f (x, y) является точкой экстремума, если

.

При этом, если , то точка М₀ – точка максимума, если , то точка М₀ – точка минимума.

Обозначим . Тогда, если

Если ∆ = B² – АС < 0, то в точке М₀ экстремума нет.

Если ∆ = B² – АС > 0, тогда точка М₀ является точкой экстремума. Кроме того, если A > 0, то M₀ – точка минимума; если A < 0, то M₀ – точка максимума.

Если ∆ = B² – АС = 0, то нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке М₀. В этом случае необходимо вести дополнительное исследование поведения знака f  (x, y) в окрестности точки М₀.