Решение практических задач по теме «Производная функции одной переменной»

П р и м е р 1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y⁴ = 4x⁴ + 6 x y в точке А (1, 2).

Решение. а) Уравнение касательной к кривой имеет вид:

y – y₀ = y ₀ (x – x₀),

где (х₀; у₀) – координате точки А, а y ₀ – значение производной в этой точке. Найдем производную от данной неявно заданной функции

(у ⁴) = 4(х ⁴) + 6 (х∙у);

4∙у³∙у  = 4 4∙х³ + 6∙у + 6∙х∙у ;

.

Теперь найдем значение производной в точке А (1; 2):

.

Следовательно, касательная имеет вид

y – 2 = (x – 1).

Приведем данное уравнение к общему виду, т. е.

13∙(y – 2) = 14 (x – 1), 14∙х – 13∙у + 12 = 0.

б) Уравнение нормали к кривой имеет вид:

y – y₀ = (x – x₀),

где (х₀; у₀) – координате точки А, а y ₀ – значение производной в этой точке. Так как значение производной в точке А (1; 2) равно , то

Следовательно, уравнение нормали имеет вид

y – 2 = (x – 1).

Приведем данное уравнение к общему виду, т. е.

14∙(y – 2) = – 13 (x – 1), 13∙х + 14∙у – 41 = 0.

П р и м е р 2. Найти производную функции у = 2 х² + 1.

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами (С∙у) = С у, (U  V) = U   V ,

у  = 2 (х²) + (1) = 2∙2∙х^{2 – 1} + 0 = 2∙х.

П р и м е р 3. Найти производную функции у = (х + 3)².

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами (U  V) = U   V ,

у  = 2 (х + 3)^{2 – 1} ∙ (х + 3) = 2∙(х + 3)∙1 = 2∙х + 6.

П р и м е р 4. Найти производную функции у = (2х³ – 3)∙(2х³ – 1).

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами

(U  V) = U   V , (U  V) = V∙U  + U∙V ,

у  = (2х³ – 3)∙(2х³ – 1) + (2х³ – 3)∙(2х³ – 1) =

= 2∙6х²∙(2х³ – 1) + 2∙6х²∙(2х³ – 3) = 48∙х⁵ – 48∙х².

П р и м е р 5. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами:

П р и м е р 6. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами:

.

П р и м е р 7. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами:

П р и м е р 8. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами:

.

П р и м е р 9. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами:

П р и м е р 10. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции Прологарифмируем обе части равенства

.

Теперь проинтегрируем полученную функцию, учитывая, что :

П р и м е р 11. Найти вторую производную функции .

Решение. Найдем сначала первую производную данной функции

.

Теперь проинтегрируем полученную функцию еще раз

.

П р и м е р 12. Найти производную функции, заданной неявно .

Решение. Найдем производную, учитывая, что у = у (х)

, ,

, ,

П р и м е р 13. Найти производную функции .

Решение. Найдем сначала производную функции у:

.

Теперь найдем производную функции х:

.

Следовательно, производная функции :