§ 6. Основные задачи на метод координат в пространстве

1. Расстояние между двумя точками. Даны точки А (х₁; у₁; z₁) и В (х₂; у₂; z₂). Найти расстояние между точками А и В.

Искомое расстояние d равно:

. (7)

2. Деление отрезка в данном отношении. Даны точки А (х₁;у₁; z₁) и В (х₂; у₂; z₂). Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ в следующем отношении .

Искомые координаты точки М находятся по следующим формулам:

– (8)

В частности, если λ = 1, т. е. АМ = МВ, то они примут вид

– (9)

формулы координат середины отрезка.

Решение практических задач по теме: "Прямоугольные декартовы координаты"

П р и м е р 1. Построить на координатной плоскости точки:

Рис. 1.

А (4; 3), В (– 2; 5), С (5; – 2),

D (– 4; – 3), E (– 6; 0), F (0; 4).

Рис. 1.

Решение. Чтобы построить точку А необходимо на оси абсцисс отложить отрезок равный 4, а по оси ординат – отрезок равный 3. Затем восстановить перпендикуляры из полученных точек до пересечения друг с другом. Полученная точка и будет точкой А. Аналогично строятся точки В, С, D, E, F (смотри рисунок 1).

Решение практических задач по теме: "Основные задачи на метод координат на плоскости"

П р и м е р 2. Построить треугольник с вершинами А (– 4; 2), В (0; – 1) и С (3; 3) и определить его периметр и углы.

Решение. Чтобы вычислить периметр необходимо найти длины сторон треугольника. Найдем длины сторон по формуле (1):

.

.

.

Периметр вычислим по формуле р = d₁ + d₂ + d₃, т. е.

.

Выполним чертеж.

Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, т. е. α = γ. Тогда

β = 180 – α – α = 180 – 2∙α

По теореме косинусов найдем угол α:

ВС² = АС² + АВ² + 2∙АС∙АВ∙cos α.

.

,

т. е. = 45º. Значит β = 180º – 90º = 90º. Следовательно, треугольник является прямоугольным.

П р и м е р 3. Даны вершины треугольника АВС: А (1; 5), В (9; 10); С (10; 3). Определить координаты точки пересечения медиан треугольника.

Решение. Сначала найдем координаты точки D середины одной из сторон, например стороны АВ. Для этого воспользуемся формулой (3):

.

Точка М, в которой пересекаются медианы, делит отрезок CD в отношении 2:1, считая от точки С. Следовательно, координаты точки М определяются по формулам (2):

.

Ответ: .

П р и м е р 4. Известны точки А (– 2; 5), В (4; 17) – концы отрезка АВ. На этом отрезке находится точка С, расстояние которой от точки А в два раза больше расстояния от точки В. Определить координаты точки С.

Решение. Так как |AC| = 2∙|CB|, то λ = |AC|:|CB| = 2. Следовательно,

,

Ответ: С (2; 13).

Решение практических задач по теме: "Полярные координаты"

П р и м е р 5. Найти прямоугольные координаты точек А, В, С для которых известны полярные координаты: А (3; 0), В , С .

Решение.

– По условию задачи имеем для точки А: ρ = 3, φ = 0. По формулам (5) находим х и у:

х = 3 cos 0 = 3, y = 3 sin 0 = 0.

Итак, А (3, 0).

– По условию задачи имеем для точки В: ρ = 2, φ = . По формулам (5) находим х и у:

х = 2 cos = 2∙ = 1, y = 2 sin = 2∙.

Итак, В (1, ).

– По условию задачи имеем для точки С: ρ = 5, φ = . По формулам (5) находим х и у:

х = 5 cos = 5∙0 = 0, y = 5 sin = 5∙1 = 5.

Итак, С (0, 5).

П р и м е р 6. Найти полярные координаты точек А, В, С, для которых известны прямоугольные координаты: А (– 3; 3), В , С .

Решение.

– По условию задачи имеем для точки А: х = – 3, у = 3. По формулам (4) находим ρ и φ:

Итак, А .

– По условию задачи имеем для точки В: х = 2, у = . По формулам (4) находим ρ и φ:

Итак, В .

– По условию задачи имеем для точки С: х = , у = 2. По формулам (4) находим ρ и φ:

Итак, С .