Глава 13 дифференциальные уравнения

§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и ее производные, т. е. F(x, y, y’, y’’, , y⁽ⁿ⁾)=0.

Определение 2. Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется функция, имеющая непрерывные производные до порядка, равного порядку уравнения, и обращающая это уравнение в тождество.

Определение 4. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Определение 5. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Основная задача интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств.

Итак, обыкновенное дифференциальное уравнение п – порядка имеет вид

F (x, y, y, y, , y⁽ⁿ⁾) = 0. (1)

Определение 6. Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое решение его

у = φ (x, C₁,C₂,,C_n),

которое содержит столько независимых произвольных постоянных C₁,C₂,,C_n, каков порядок этого уравнения.

Если общее решение найдено в неявном виде

Ф (x, у, C₁,C₂,,C_n) = 0,

то оно называется общим интегралом.

Определение 7. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, при определенных значениях произвольных постоянных, в него входящих, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Определение 8. Задача о нахождении решения уравнения (1) удовлетворяющего условиям

y (x₀) = y₀, y (x₀) = y₀, , y^(n-1)(x₀) = y₀^n-1, (2)

называется задачей Коши, условия (2)  начальными условиями, а числа x₀, y₀, y₀, , y₀^n-1  начальными данными решения уравнения (1).

§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 9. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

F (x, y, y) = 0, (3)

где х  независимая переменная, у  искомая функция, у   ее производная. Если уравнение (3) можно разрешить относительно у, то оно принимает вид

у = f (x, y) (4)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Общее решение уравнения (3) имеет вид

у = φ (х, С) или Ф (х, у, С) = 0,

а частное решение

у=φ (х, С₀) или Ф (х, у, С₀)=0,

где С₀ определяется из начальных условий задачи Коши: у(х₀)=у₀.

Геометрически общее решение у = φ (х, С) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости хОу, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение у = φ (х, С₀)  одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х₀, у₀).

Интегральные кривые обладают тем свойством, что в каждой их точке М (х, у) наклон касательной удовлетворяет условию tg  = f (x, y).

Таким образом геометрически задача Коши формулируется так: из семейства интегральных кривых уравнения (4) найти одну интегральную кривую, проходящую через точку М₀(х₀, у₀).

Т е о р е м а К о ш и (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция f(x, y) и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области плоскости хОу и, следовательно ограничены в ней, то какова бы ни была внутренняя точка (х₀, у₀) этой области, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение задачи Коши:

Определение 10. Решение, в каждой точке которого нарушается единственность или существование решения задачи Коши, называется особым (геометрически: совокупность точек плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называется особыми точками данного уравнения).

Не существует общего метода интегрирования дифференциального уравнения первого порядка. Обычно рассматривают лишь некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из которых дается свой особый способ решения.