- •Глава 13 дифференциальные уравнения
- •§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •§ 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •§ 4. Дифференциальные уравнения однородные относительно переменных
- •§ 5. Линейные дифференциальные уравнения
- •§ 6. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •§ 7. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •§ 8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •§ 9. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •§ 11. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Сводная таблица по теме: «Дифференциальные уравнения»
- •Решение практических задач
- •Примеры для самостоятельного решения.
§ 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение 11. Дифференциальное уравнение вида
X (x) d x + Y (y) d y = 0 (5)
называется уравнением с разделенными переменными.
Считая y = φ(x) известной, это уравнение можно рассматривать как сумму двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным числом. То есть общий интеграл уравнения (5) имеет вид:
Определение 12. Уравнение вида
X1(x) Y1(y) d x + X2(x) Y2(y) d y = 0
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение с разделяющимися переменными может быть приведено к уравнению (5) путем деления обеих частей уравнения на произведение Y1(y)X2(x):
Замечание. Уравнение у = f1(x) f2(y) приводится к уравнению (5) следующим образом
,
Решение f2(y) = 0 может быть особым.
§ 4. Дифференциальные уравнения однородные относительно переменных
Определение 13. Функция f (x, y) называется однородной функцией п – го измерения относительно переменных х и у, если при любом k справедливо тождество: f (kx, ky) = k n f (x, y).
Замечание. Уравнение
М (х, у) d y + N (x,y) d x = 0
будет однородным в случае, если М (х, у), N (x, y) однородные функции одного и того же измерения.
Определение 14. Функция f (x, y) называется однородной функцией нулевого измерения, если при умножении аргументов х и у на произвольный параметр k значение функции не измениться: f (kx, ky)= f(x,y).
Определение 15. Уравнением однородным, относительно переменных называется уравнение вида:
При решении однородного уравнения вводится замена
, т. е. y = U∙x,
тогда у = U x + U, подставляя это выражение для у в однородное уравнение, получим:
U x + U = f (U)
или U x = f (U) – U это уравнение с разделяющимися переменными:
Интегрируя найдем:
Подставляя после интегрирования вместо U отношение , получим интеграл однородного уравнения.
К однородным уравнениям приводятся уравнения вида
Это достигается линейной заменой x = x0 + t, y = y0 + z, где х0, у0 координаты точки пересечения прямых а1 х + b1 y + c1 = 0 и a2 x + b2 y + c2 = 0. Если же указанные прямые не пересекаются, то в этом случае и уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены а1х+b1y+c1=z.
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения
Определение 16. Уравнение вида
у + р (х) у = f (x), (6)
где р (х) и f (x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если f (x) 0, то уравнение (6) называется линейным однородным уравнением. Если f (x) 0, то уравнение (6) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.
Для нахождения общего решения уравнения (6) можно пользоваться следующим способом.
Будем искать решение у (х) уравнения (6) в виде
у (х) = U (x) ∙ V (x), (7)
где U (x) и V (x) – неизвестные функции, одна из которых, например V (x), может быть выбрана произвольно. Подставляя у (х) в форме (7) в уравнение (6), учитывая, что у = U (x) ∙ V (x) + U (x) ∙ V (x):
U ∙V + U∙V + p (x)∙U∙V = g (x).
После элементарных преобразований получим
U ∙V + U∙(V + p (x)∙V) = g (x).
Выберем в качестве V (x) любое частное решение V (x) 0 уравнения
V + p (x)∙V = 0,
Тогда U ∙V = g (x).
Итак, решение уравнения (5) сводится к решению системы дифференциальных уравнений (сначала решается первое уравнение, затем второе)
Зная U (x) и V (x), найдем решение у (х) по формуле (7) уравнения (6).