§ 8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение 21. Уравнение вида

у  + р (х) у  + q (x) y = f (x), (9)

p (x), q (x), f (x)  непрерывные в некотором интервале функции, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если f (x)  0, то уравнение называется однородным,

f (x)  0  неоднородным.

у  + р (х) у  + q (х) у = 0. (10)

Т е о р е м а 1. (основное свойство частного решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка).

Если функции у₁(х) и у₂(х) решения уравнения (10), то функция

у = С₁ у₁ (х) + С₂ у₂ (х)

также является решением уравнения (9). Это свойство проверяется непосредственной подстановкой у в уравнение (10).

Определение 22. Функции у₁ и у₂ называются линейно зависимыми в некоторой области, если существуют такие числа  и , из которых хотя бы одно не равно нулю, что для любого х из этой области имеет место равенство

∙у₁ + ∙у₂ = 0.

то есть, если

Определение 23. Функции у₁ и у₂ называются линейно независимыми в некоторой области, если равенство ∙у₁ + ∙у₂ = 0 выполняется только при  =  = 0. То есть у₁ и у₂  линейно независимые, если

Т е о р е м а 2. (об общем решении уравнения (10)). Если функции у₁(х) и у₂(х) линейно независимы на некоторой области решения уравнения (10), то функция

у = С₁ у₁ (х) + С₂ у₂ (х)

(С₁, С₂  произвольные постоянные) является общим решением уравнения (10).

§ 9. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Элементы теории комплексных чисел

Определение 24. Число z = x + i∙y, где х, у  любые действительные числа, i  мнимая единица (i² = – 1), называется комплексным числом, х  его действительной частью, у  мнимой частью.

Замечание. Арифметические действия над комплексными числами производятся по обычным правилам действий над обыкновенными двучленами (х + i∙y), но в результате i² везде заменяется на – 1.

Величина называется модулем числа z и обозначается |z|,

Угол φ называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg z.

Определение 25. Если z = x + i∙y, то комплексное число x – i∙y называется сопряженным с z и обозначается , т. е.

Определение 26. Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид

z = x + i∙y = r (cos φ + i sin φ).

где r = |z|, φ = arg z.

Определение 27. Уравнение вида

у  + р у + q y = 0,

где р, q  вещественные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение 28. Пусть дано линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

у  + р у + q y = 0. (11)

Уравнение вида

k² + p k + q = 0 (12)

называется характеристическим уравнением данного уравнения (11).

Т е о р е м а 3. (о частных решениях уравнения (11)).

1. Если число k  действительный корень уравнения (12), то у = e^kx является частным решением уравнения (11).

Если k_{1, 2} =  ±  i  комплексно сопряженные корни уравнения (12), то функции являются частным решением уравнения (9).

Т е о р е м а 4. (об общем решении уравнения (12)).

Если корни характеристического уравнения (11) вещественные и различные (k₁  k₂), то общее решение уравнения (12) имеет вид

Если корни уравнения (12) вещественные и равные (k₁ = k₂), то общее решение уравнения (11) имеет вид

Если корни характеристического уравнения (12) комплексные , то общее решение (10) имеет вид