12.3. Вычисление двойных интегралов в прямоугольных декартовых координатах.

Пусть f (x, y) – непрерывна в области S и

– ее двойной интеграл.

Область S представляет собой криволинейную трапецию: a £ x £ b, y₁(x) £ y £ y₂(x), где y₁(x), y₂(x) – однозначные, непрерывные функции на отрезке [a, b].

Такую область будем называть стандартной относительно оси Оу.

Рис. 2.

1. Предположим, что f (x, y) ³ 0 в области S. Тогда J представляет собой объем цилиндроида, ограниченного снизу областью S, сверху поверхностью z = f (x, y) и с боков прямой цилиндрической поверхностью.

Для вычисления объема данного цилиндра справедлива формула:

. (12.3)

Таким образом, двойной интеграл равен соответствующему повторному интегралу. Пределы внутреннего интеграла -переменные величины, пределы внешнего интеграла - постоянные числа.

2. В случае знакопеременной функции z = f (x, y), т. е. если

f (x, y) ³ 0 при (x, y) ∈ S₁ и f (x, y) < 0 при (x, y) ∈ S₂ (S₁ È S₂ = S), двойной интеграл равен алгебраической сумме объемов V₁ и V₂ цилиндров, построенных соответственно на основаниях S₁ и S₂ (см. рис.), т. е.

.

3. Пусть S – прямоугольник a £ x £ b, A £ y £ B и

f (x, y) = X (x)∙Y (y),

где Х (х) – функция непрерывная на [a, b] и зависящая только от х, и Y(у) функция непрерывная на [A, B] зависящая только от у. Тогда

.

4. Если S – стандартная область относительно оси Ох, т. е.

А £ у £ В, х₁(у) £ х £ х₂(у),

то по аналогии

.

В частности, если область S есть прямоугольник: a £ x £ b, A £ y £ B, то

или

.

Отсюда получаем

,

т. е. если предел интегрирования в повторном интеграле от непрерывной функции конечны и постоянны, то результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

5. Если область S нестандартная, то ее разбивают (если это возможно) на конечное число областей S₁, S₂, …, S_p, стандартных относительно осей координат Ох или Оу и на основании свойств двойного интеграла имеем:

.

12.4. Правила вычисления двойных интегралов и порядок приведения двойного интеграла к повторному.

1. Для того чтобы расставить пределы интегрирования в поверхностном интеграле, прежде всего, необходимо построить область интегрирования.

2. Затем нужно установить порядок интегрирования, т. е. наметить по какой переменной будет производиться внутреннее интегрирование, а по какой – внешнее.

3. Во внутреннем интеграле пределы интегрирования в общем случае есть функции той переменной, по которой вычисляется внешний интеграл и которая при вычислении внутреннего интеграла остается постоянной.

4. Пределы внешнего интеграла есть величины постоянные.

5. Вычисление повторного интеграла следует начинать с вычисления внутреннего интеграла.

6. Вычислять внутренний интеграл по данной переменной следует в предположении, что другая переменная есть величина постоянная.

7. При вычислении внутреннего интеграла в общем случае всегда получается функция той переменной, по которой вычисляется внешний интеграл.