§ 6. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть α (х) и β (х) – б. м. ф. при х  х₀.

Определение 27. Если , то α (х) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем β (х).

Так α (х) = х² – б. м. ф. при х  0 более высокого порядка, чем β (х) = х при х  0, т. к. .

Определение 28. Если , то α (х) и β (х) называются бесконечно малыми функциями одного порядка. Так α (х) = 2 х, β (х) = х, при х  0 – б. м. ф. одного порядка, т. к. .

Определение 29. Говорят, что б. м. ф. α (х) и β (х) при х  х₀ не сравнимы, если отношение при х  х₀ не имеют предела, ни конечного, ни бесконечного.

Например, б. м. при х  0 функция и β (х) = х не сравнимы, т. к. их отношение не имеет конечного предела в точке х = 0 и не является б. б. ф. при х  0.

Определение 30. Две б. м. ф. α (х) и β (х) при х  х₀ называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице:

.

Эквивалентные б. м. ф. представляют частный случай б. м. одного порядка. Эквивалентность б. м. ф. α (х) и β (х) обозначается следующим образом:

α (х)  β (х), при х  х₀.

Т е о р е м а 3. Предел отношения двух б. м. ф. при х → х₀ не изменяется, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей б. м. ф. при х → х₀.

Замечание. Пусть α (х), β (х), γ (х) – б. м. ф. при х  х₀ отношение эквивалентности обладает свойством

– рефлективности: α (х)  α(х), при х  х₀;

– симметричности: если α (х)  β (х), то β (х)  α (х), при х  х₀;

– транзитивности: если α (х)  β (х), а β (х)  γ (х), то α (х)  γ (х), при х  х₀.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при х  0

sin x  x	ln (1 + x)  x	 p∙x, p > 0
tg x  x	ax – 1  x∙ln a
	ex – 1  x	
arcsin x  x	log a (1 + x)  x∙log a e
arctg x  x

§ 7. Основные теоремы о пределах

Для определенности все доказательства и формулировки проведем для х → + х₀. Теоремы для случаев: х → – , х → + , х → х₀  0 совершенно аналогичны.

Т е о р е м а 4. (прямая) (о связи между функцией, имеющей предел, и б. м. ф.). Если функция f (x) имеет предел (при х → х₀) равный А, то ее можно представить как сумму числа А и б. м. ф. (при х → х₀), т. е. если , то

f (x) = A + α (x), где α (х) – б. м. ф. при х → . (1)

Т е о р е м а 5. (обратная). Если функцию f (x) можно представить как сумму числа А и некоторой б. м. ф. (х → х₀), т. е. f (x) = A + α (x), то число А является пределом функции f (x) при х → х₀.

Т е о р е м а 6. Если функция y = f (x) имеет предел при х → х₀, то она ограничена своим пределом в некоторой окрестности этой точки.

Т е о р е м а 7. (о пределе постоянной функции). Предел постоянной при х → + х₀ равен самой этой постоянной.

где С = const.

Т е о р е м а 8. (о пределе суммы функций, имеющих предел). Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т. е. если

и , то

Примечание. Теорема 7 справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Т е о р е м а 9. (о пределе произведения функций, имеющих пределы). Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т. е. если существуют

и , то

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Примечание. Теорема 8 справедлива для любого конечного числа сомножителей.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т. е.

.

Т е о р е м а 10. (о пределе частного). Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю, т.е.

, , то

Примечание. Теоремы о пределах суммы, произведения и частного облегчают нахождения пределов.

Т е о р е м а 11.Если f (x)  0 в окрестности точки х₀ и при х→ х₀ имеет предел, то этот предел не может быть отрицательным, т. е.

.

Т е о р е м а 12 (переход к пределу в неравенстве). Если f (x)  g (x) для всех х из некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀, и каждая из функций f (x) и g (x) в точке х₀ имеет предел, то

.

Т е о р е м а 13. (о пределе промежуточной функции). Пусть три функции φ (х), f (x), g (x) удовлетворяют неравенствам

φ (x)  f (x)  g (x) для х → х₀.

Тогда, если , то и f (x) имеет предел, равный А: .

Т е о р е м а 14. Предел логарифма функции равен логарифму ее предела, т. е.

Т е о р е м а 15. Если существует, то

Раскрытие некоторых неопределенностей

Раскрытие неопределенностей − это методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, т. е. переходят в выражения (неопределенности) типа , по которым нельзя судить о том, существуют или нет искомые пределы.

Рассмотрим дробную рациональную функцию, т. е. отношение двух многочленов

.

1. Пусть х → а.

Если , то

Если Р_n(a)  0, Q_m(a) = 0, то .

Если Р_n(a) = 0, Q_m(a) = 0, получим неопределенность . Для того, чтобы раскрыть эту неопределенность, необходимо выделить критический множитель (т. е. множитель равный нулю при х = а) (х – а) и сократить дробь один или несколько раз на этот множитель.

2. Пусть х   и и . Получим неопределенность . В этом случае надо и числитель и знаменатель дроби разделить на старший член числителя или знаменателя . В результате получим

т. е. предел дробной рациональной функции при х →  равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя одинаковы, и равен нулю или бесконечности, если степень числителя соответственно меньше или больше степени знаменателя.

3. Выражения, содержащие иррациональности в числителе и знаменателе и дающие неопределенность вида , приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.

Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.

4. При нахождении пределов могут встретиться неопределенности вида  –  и 0∙. Каждый из этих случаев путем преобразования данной функции можно привести к неопределенности вида или .