- •Глава 6 ведение в анализ
- •§ 1. Функция одной переменной
- •§ 2. Модуль действительного числа
- •§ 3. Предел функции одной переменной
- •§ 4. Бесконечно большой аргумент и функция
- •§ 5. Бесконечно малые функции (б. М. Ф.)
- •Свойства бесконечно малой функции.
- •§ 6. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 7. Основные теоремы о пределах
- •§ 8. Замечательные пределы
- •§ 9. Непрерывность функции
- •Решение практических задач по теме: «Раскрытие некоторых неопределенностей»
- •Решение практических задач по теме: «Замечательные пределы»
- •Примеры для самостоятельного решения.
§ 2. Модуль действительного числа
Определение 15. Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа х называется неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое формулой
Из определения следует, что для всех х справедливо соотношение .
Если расположить действительные числа на числовой оси, то модуль |x| любого числа х представляет собой расстояние от начала отсчета О до соответствующей точки с абсциссой х.
Отсюда следует, что если модуль числа х удовлетворяет неравенству
|x| < a (или |x| ≤ a), где a > 0,
то число х подчинено ограничению:
– a < x < a (или соответственно – a ≤ x ≤ a)
т. е. х принадлежит интервалу (– а; а) (или отрезку [– а; а]).
Рассмотрим более общий случай:
если |x – х0| < a (или | x – х0| ≤ a),то число х подчинено ограничению:
х0 – a < x < х0 + a (или соответственно х0 – a ≤ x ≤ х0 + a),
т. е. х принадлежит интервалу с центром в точке х0- (х0 – а; х0 + а) (или отрезку [х0 – а; х0 + а]).
Свойства модуля действительного числа.
1. |x + y| ≤ |x| + |y|. Неравенство распространяется на любое конечное число слагаемых.
2. |x – y| ≥ |x| – |y|.
3. |x∙y| = |x|∙|y|. Равенство распространяется на любое конечное число сомножителей.
4. .
5. |xn| = |x|n.
§ 3. Предел функции одной переменной
Определение 16. Постоянное число х0 называется пределом переменной величины х в данном процессе, если для каждого наперед заданного произвольно малого δ > 0 можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству
Если число х0 есть предел переменной величины х, то говорят, что х стремится к пределу х0, и пишут:
или
С помощью логических символов это определение выражается следующим образом
.
Если х → х0, х < х0, то говорят, что х стремиться к х0 слева и пишут: х → х0 – 0.
Если х → х0, х > х0, то говорят, что х стремиться к х0 справа и пишут: х → х0 + 0.
Определение 17. (предела функции при х → х0 – 0). Число А называется пределом функции f (x) при х → х0 – 0, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое δ, что для всех х ∈ (х0 – δ; х0) выполняется неравенство
| f (x) – A| < ε.
Обозначается
Символическая запись:
ε > 0 δ > 0 x: х0 – δ < x < x0 | f (x) – A| < ε.
Геометрический смысл предела функции при х → х0 – 0 заключается в следующем: каково бы ни было ε > 0 найдется такое δ > 0, что для всех х заключенных между х0 – δ и х0, график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А – ε и у = А+ ε.
Аналогично пределу функции при х → х0 – 0 вводится понятие предела при х → х0 + 0.
Определение 18. Число А называется пределом функции f (x) при х → х0+0, если каково бы ни было число ε, найдется такое δ > 0, что для всех х (х0; x0 + δ), выполняется неравенство | f (x) – A| < ε,
Обозначается
Символическая запись:
ε > 0 δ > 0 x: x0 < x < x0+δ | f (x) – A| < ε.
Геометрически это означает, что график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А – ε и у = А+ ε для всех х, заключенных между х0 и x0 + δ.
Пределы функции при х → х0 – 0 и х → х0 + 0 называются односторонними пределами.
Если оба односторонних предела существуют и равны между собой, то говорят, что f (x) имеет двусторонний предел при х → х0, или просто имеет предел при х → х0
Определение 19. Число А называется пределом f (x) при х → х0, если каково бы ни было ε > 0, можно найти такое δ, что для всех х ∈ (х0 – δ; х0+δ) (за исключением быть может точки х0), выполняется неравенство
| f (x) – A| < ε,
Обозначается
Символическая запись:
ε > 0 δ > 0 x: 0 < |x – x0| < δ | f (x) – A| < ε.
Геометрически это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки х0 не далее чем на δ, точки графика функции f (x) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у = А – ε и у = А+ ε.
Определение 20. Назовем окрестностью точки х0 любой интервал, содержащий эту точку. Дельта – окрестностью (δ –окрестностью) точки х0 называется интервал х0 – δ < х0 < х0 + δ.